45 7

2. Jeśli g > 1, to szereg J] a„ jest rozbieżny. Ponadto, jeśli VI I > 1 dla nieskończenie wielu n € N to szereg jest rozbieżny.

4 Definicja 8 (zbieżności bezwarunkowej szeregu). Mówimy, że szereg liczbowy

J2 On jest zbieżny bezwarunkowo gdy dla każdej bijekcji <t : N —► N szereg n=l

Z) Mⁿ) jest zbieżny. Jeżeli szereg jest zbieżny lecz nie jest zbieżny bezwarunkowo, to mówimy, że jest on zbieżny warunkowo.

LEMAT:

Niech 53 będzie szeregiem zbieżnym. Jeśli cin < 0 dla wszystkich n € N,

to szereg jest zbieżny bezwarunkowo. Ponadto dla każdej bijekcji a : N —► N

oo    co

mamy Z) Mn) = 53 °n

n=l    «=1

Twierdzenie 13 (o zbieżności bezwzględnej i bezwarunkowej szeregu). Sze-reg liczbowy $3 jest zbieżny bezwarunkowo wtedy i tylko wtedy , gdy jest zbieżny bezwzględnie.

oo

Twierdzenie 14. Jeśli szereg Z) Mjest zbieżny bezwarunkowo, to dla dowolnej

n=l

oo    oo

bijekcji a : N —► N zachodzi 53 M») = 53 ®n-

Definicja 9 (iloczynu szeregów w sensie Caucłtyego). Niech 53 M 53 &n będą

n=l n=l

szeregami liczbowymi. Iloczynem w sensie Cauchy’ego tych szeregów nazywamy szereg 53 <V», gdzie

n=l

Cix = y^Ojfen-j n=l,2,3,...

i=o

Iloczyn w sensie Caucłtyego szeregów jest przemienny.

oo    oo

Twierdzenie 15 (Mertensa). Jeśli szeregi Z) <*»> 53 są zbieżne i jeśli przy-

n=0    n=0

najmniej jeden z tych szeregów jest zbieżny bezwzględnie to iloczym w sensie Cauchy’ego 53    ty⁰*¹ szeregów jest zbieżny oraz

n=0

X^c->=X^a"X^i,»

n=0    n=0

5