CCF20090120097

towi, że y ma znak +; punkt 2. odpowiada faktowi, że y" ma znak +.

Inaczej przedstawia się sprawa w modelu 2. Co prawda , krzywa rośnie, ale im dalej się posuwamy, tym jest ona mniej stroma. Odpowiada to komunikatowi: „Nasza armia nadal posuwa się naprzód, ale jej marsz jest zwalniany przez stanowczy opór przeciwnika”. Ponieważ mamy do czynienia z marszem naprzód, więc y' ma znak +, ale ponieważ prędkość marszu maleje, więc y" ma znak —.

modę! 1

modę! 2

modę! 3

modę! 4

Ryc. 33

Trzeba być dość ostrożnym z modelami 3 i 4„ ze względu na to, że y' jest ujemne. Musimy pamiętać, że przejście od y — — 10 do y = —1 oznacza wzrost y', co jest związane z własnościami liczb ujemnych.

W modelu 3 mamy z początku raptowny spadek — w terminologii militarnej druzgocącą klęskę. Dalej krzywa opada w dalszym ciągu, ale już nie tak szybko. W tym względzie sytuacja ulega poprawie. Poprawa ta znajduje odbicie w fakcie, że y" ma znak +. Odwrót ukazuje nachylenie krzywej ku dołowi: y ma znak —.

Czytelnik przypomina sobie zapewne, że prosta 9e opadając gwałtownie na dół miała y —

= — 5, podczas gdy prosta 9d miała y = “po'

W modelu 3 początkowa część krzywej jest nachylona podobnie do prostej 9e, podczas gdy koniec krzywej jest bardziej podobny do prostej 9d. W modelu 3 y' ma więc z początku wartość

ok. —5, a po koniec ok. —77:. Trzeba coś do-

dać do —5, aby otrzymać    I dlatego y",

prędkość zmiany wielkości y, ma znak + .

W modelu 4 sytuacja pogarsza się coraz szybciej. Krzywa opada i staje się coraz bardziej

stroma, y' może wynosić ok. —na początku

i ok. —5 pod koniec. Wielkość y' maleje, a więc y" ma znak —.

Te cztery modele wyczerpują wszystkie najważniejsze możliwości. Wielkość y' musi mieć znak + lub — i y," musi mieć znak + lub — (chyba że y' lub y" jest równe 0). Łącząc nasze cztery modele .możnemy -wyznaczyć kształt dowolnego wykresu, o ile wiemy, jak zachowują się y' i y". Zauważmy, że bardzo łatwo można nadać wielkości y" prosty sens intuicyjny. Gdy y" ma znak +, to krzywa jest wygięta ku górze (model 1 i 3); gdy y" ma znak —, krzywa jest wygięta ku dołowi (model 2 i 4).

PRZYKŁAD

Przypuśćmy, że zadano nam pytanie: „Jaki jest ogólny kształt wykresu funkcji y — x^s— 3x?” Rozpatrzmy kształt wykresu pomiędzy wartościami x — — 20 i x — = +20.

Przede wszystkim musimy znaleźć wartości y' i y". Ponieważ y = x³—3x, więc y' = 3x²—3, y" — 6x.

Rzecz jasna, że y" ma znak +, gdy x ma znak +, i y" ma znak gdy x ma zinak —. Oznacza to, że wykres jest wygięty ku górze dla wszystkich dodatnich x i wygięty ku dołowi dla wszystkich ujemnych x.

Jeżeli podstawimy kilka wartości na x, to przekonamy się, że 3x²—'3 (wartość wielkości y') ma znak +, gdy x leży pomiędzy —20 i 1 oraz gdy x leży pomiędzy 1 i 20. Wyrażenie 3x²—3 ma znak —, gdy x leży pomiędzy —J i ,1.

Informacje te możemy zestawić w następujący sposób:

197