CCF20090120135

ka, który dorabia się majątku na pożyczaniu pieniędzy, jest to bez wątpienia pasjonująca sprawa; dla większości pozostałych ludzi, a szczególnie 'dziedi w szkole, procent składany jest strasznie nudny.

Szereg geometryczny ma także zastosowanie w badaniu oporu powietrza. Ciało poruszające się w powietrzu można porównać z człowiekiem pędzącym w tłumie ludzi. Im szybciej biegnie, tym więcej ludzi potrąca: inaczej mówiąc, przeciwdziałanie jego posuwaniu się naprzód jest proporcjonalne do jego prędkości. To samo dotyczy ciała poruszającego się w powietrzu (o ile jego prędkość nie jest zbyt duża): im szybciej się ono porusza, tym więcej powietrza musi wymieść ze swej drogi w ciągu każdej sekundy. W wyniku tego ciało traci w ciągu każdej sekundy określoną część swojej prędkości. Jeżeli w ciągu każdej sekundy ciało traci 2/3 prędkości, to pozostaje jedna trzecia; tak więc ciało mogło przebyć 1 stopę w pierwszej sekundzie,

— stopy w drugiej sekundzie, “ stopy w trze-

o    y

ciej itd. Łącznie przebyta odległość wyniosłaby wtedy l +    + ...; jest to ten sam sze

reg, który mieliśmy poprzednio. Przyjęliśmy przy tym, oczywiście, założenie, że ma ciało nie działa żadna siła oprócz oporu powietrza. Rozważanym ciałem mogłoby być śmigło; jeżeli jest ono właściwie wyważone i nie jest połączone z silnikiem, to nie ma siły, która by je wprawiła w ruch; jeżeli je popchniemy, zacznie się ono obracać, ale stopniowo będzie zwalniało w opisany wyżej sposób.

Związek pomiędzy poruszającym się ciałem a postępem geometrycznym był znany już w XVII w. Bardziej nowoczesne zastosowanie znajduje postęp geometryczny w przypadku

prądu elektrycznego: elektron poruszający się wewnątrz drutu zderza się z atomami tworzącymi drut, tak jak człowiek poruszający się w tłumie. Jeżeli drut połączony jest z 'baterią elektryczną, sytuacja ulega zmianie: istnieje wówczas siła pchająca elektron naprzód. Podobnie, spadająca kropla deszczu znajduje się pod wpływem siły przyciągania ziemskiego; dlatego opór powietrza nie zatrzyma jej. Zagadnienie, w jaki sposób spada kropla deszczu, jest więc nieco bardziej skomplikowane, ale także zostało rozwiązane w XVII w. za pomocą postępu geometrycznego.

Można wykazać (metodą użytą w zadaniu dotyczącym ziemniaków), że szereg 1 +x+x²+

równy ^

+x³ +

jest

o ile x oznacza do

wolną liiczbę nie 'większą od 1.

INNE SZEREGI

Stwierdziliśmy, że y— można przedstawić

w postaci szeregu zawierającego różne potęgi x. Nie jest to jakaś szczególna własność wyrażenia

y^y; prawie każdą funkcję, z 'jaką się spotykamy, można przedstawić w ten sposób. Na przykład,}/ l + x jest równy szeregowi zaczynającemu się od 1+-~x— — x²+..., a —ln (1— x)

• k 1    j    j

jest równy szeregowi x+ — x^%Jr — x³ + — x*+...

ż    o    4

W obu przypadkach zakładamy, że x jest mniejsze od 1. Jest oczywiste, że gdy x jest większe od 1, szeregi te nie wyrażają podanych funkcji.

273

18 Matem, nauką przyj.