CCF20090513011

40

l. Indukcja i wyjaśnianie

tyczne logicznie od niego niezależne byłoby równe prawdopodobieństwu a priori tego zdania. Taki rachunek nie pozwalałby więc na wyprowadzanie żadnych interesujących wniosków indukcyjnych.

fsy Żeby więc można było zbudować rachunek logiczny, który da-wałby podstawy do wyciągania wniosków indukcyjnych, trzeba przypisać opisom indywiduowym niejednakowe prawdopodobieństwa a priori. Ale jak? Carnap uznał, że w tym celu wpierw należy określić prawdopodobieństwo zdań innego typu, zdań zwanych opisami strukturalnymi albo statystycznymi. Są to zdania o postaci alternatywy wszystkich opisów indywiduowych, którym odpowiada ten sam ciąg Q-liczb. Opisy statystyczne mówią zatem o tym, ile indywiduów należy do każdego z O-zbiorów, to jest spełnia określony Q-predykat, czyli ma określony asortyment elementarnych własności (własności oznaczonych za pomocą predykatów elementarnych). Mówią zatem o świecie wszystko to, co da się o nim powiedzieć, przemilczając kwestię tożsamości indywiduów. I to właśnie w stosunku do opisów statystycznych Carnap zastosował zasadę racji niedostatecznej, to jest przypisał im jednakowe prawdopodobieństwa.

o- Prawdopodobieństwo opisu statystycznego, zgodnie z aksjoma-tami rachunku prawdopodobieństwa, musi być sumą prawdopo-dobieństw opisów indywiduowych, których jest alternatywą. Teraz

jo można przyjąć zasadę racji niedostatecznej do opisów indywiduowych będących składnikami tego samego opisu statystycznego i przypisać im jednakowe prawdopodobieństwa. Widać stąd wyraźnie, że prawdopodobieństwo a priori opisu indywiduowego będzie odwrotnie proporcjonalne do liczby opisów indywiduowych o tym samym ciągu O-liczb. Będzie więc ono tym większe, im bardziej ciąg Q-liczb będzie „niezrównoważony”, to znaczy im bardziej jego wyrazy będą różniły się od przeciętnej¹⁹. Największe zaś będzie dla ciągów, których jeden wyraz wynosi N, a pozostałe są równe zero. W takim razie opisy indywiduowe są tym bardziej a priori prawdopodobne, im większej liczbie indywiduów przypisują więcej podobieństw (wspólnych własności elementarnych). Najbardziej prawdopodobne a priori są te opisy indywiduowe, które mówią, że ^{1 2}

2. Nauka jako wiedza prawdopodobna

41

wszystkie indywidua są jednakowe (mają te same własności elementarne). Taki rozkład prawdopodobieństwa przypisuje więc a priori wyższe prawdopodobieństwo temu, że w świecie występują (statystyczne) związki współwystępowania (lub wykluczania się) między poszczególnymi własnościami elementarnymi, niż temu, że takich związków absolutnie brak; i to tym wyższe prawdopodobieństwo, im więcej jest takich związków współwystępowania (i im one są statystycznie istotniejsze). Takie założenie można uznać za statystyczną wersję zasady jednostajności przyrody. Prześledzimy teraz niektóre jego konsekwencje.

Oznaczmy teraz przez L_Nk język, który zawiera N nazw indywiduowych i k Q-predykatów. Określmy na zbiorze zdań tego języka rozkład prawdopodobieństwa zgodnie ze sformułowaną wyżej zasadą racji niedostatecznej dla opisów statystycznych oraz zasadą racji niedostatecznej dla opisów indywiduowych, którym odpowiadają te same ciągi O-liczb. Wówczas można zdefiniować funkcję potwierdzenia hipotezy H sformułowanej w tym języku przez świadectwo empiryczne E (zdanie opisujące to świadectwo) znanym wzorem na prawdopodobieństwo warunkowe³:

C²(H\ E) =

P(HaE)

P(E)

Określenie

stopnia

potwierdzenia

hipotezy

W nauce interesuje nas przede wszystkim potwierdzanie hipotez uniwersalnych, to jest hipotez o ogólnej postaci (Va:)[W(x) -»Z(x)]. W wypadku języka o skończonej liczbie nazw indywiduowych, w którym każdy element uniwersum ma nazwę indywiduową -a takie języki na razie rozpatrujemy - hipotezy uniwersalne redukują się do znacznie mniej interesujących zdań szczegółowych o postaci skończonej koniunkcji: [W(«,) -² Z(a,)] a ... a [W(a _v) -+ Z(a_N)]. Żeby można było rozważać kwestię potwierdzania hipotez uniwersalnych, trzeba dokonać uogólnienia funkcji potwierdzania na języki o nieskończonych uniwersach. W tym celu Carnap zdefiniował prawdopodobieństwo a priori zdania języka L to jest monadycznego języka rachunku predykatów pierwszego rzędu o nieskończonym uniwersum i k Q-predykatach - jako granicę

1

¹⁹ Liczba opisów indywiduowych o tym samym ciągu O-lic/b N„ .... N. wyraża

2

   N\

sic wzorem:-—-.

^Y    AT,! • AĄ! • ... • iV_k!

3

Sam Carnap zamiast litery P na oznaczenie prawdopodobieństwa używał m² (od słowa „measure” - „miara”). Litera C pochodzi od confimiation.