DSC07364

146

Geometria analityczna w przestrzeni

• Przykład 5.24

Punkty A = (0,0,0), B = (4,0,0), C = (0,6,0), D = (0,0,8) są wierzchołkami czworościanu. Wyznaczyć środek i promień kuli opisanej na tym czworościanie.

Rozwiązanie

Niech S = (s,y,i) będzie środkiem, a R promieniem kuli opisanej na czworościanie ABCD. Wtedy

|S.4| = |SB| = |SC| = |SD| = R.

Zapisując te równości w formie układu równań otrzymamy

yj{x - 0)» + (v-0)² + (z - O)³ = y/\x - 4)» + (y - 0)* + (z - O)³ ,

' y/{x-4)’ + (y-0)’ + (z - 0)’ = V(* - Q)» + (W “ ⁶)³ + (² “ «>)*,

, V(* ~ 0)’ + (»-P +1 - Óp = - 0)» 1 (y - 0)* + (z - 8)*.

Stąd

i =2,

-2x + 3| =5,

— 3y + 4z = 7.

Rozwiązaniem tego układu równań jest trójka

*=5 2,

W = 3, z = 4.

Zatem S = (2,3,4). Obliczymy teraz promień kuli opisanej na czworościanie ABCD. Mamy

R = |S>ł| = y/{2 - 0)³ + (3 - 0)^ł + (4 - 0)^a = V29.

• Przykład 5.25

W chwili to = 0 z punktu S = (4, —3,1) [km] wystrzelono prostoliniowo rakietę z prędkością v = 3km/s, nadając jej kierunek wektora 3 = (1,1,5). Wyznaczyć położenie rakiety w chwili tj = 16 s (nie uwzględniać siły ciężkości).

Rozwiązanie

Rakieta porusza się po linii prostej o równaniu parametrycznym (zapisanym w formie wektorowej) r = r_Q + v ■ t, gdzie ? jest promieniem wodzącym punktów na prostej, fo = (4, -3,1) jest promieniem wodzącym punktu S,

wektorem prędkości rakiety, a t oznacza czas. Rakieta w chwili t = 16 s znajduje się w punkcie o promieniu wodzącym

f=(4,-3,l) +

Mhm

Przykłady

147

• Przykład 5.26

Na pochyłym płaskim terenie wytyczono trójkąt równoboczny ABC. Wzniesienia nad poziom morza punktów A,B,C są równe odpowiednio h_A = 100 m, hs = 200 rn, hc = 150 m. Obliczyć wzniesienie nad poziom morza środka tego trójkąta.

Rozwiązanie

Sytuację omawianą w zadaniu przedstawiono na rysunku.

hs = | (h_A + h_B + hc) = |(100 + 200 + 150) = 150[mj.

w ■ O/' y

Wzniesienie środka S trójkąta ABC nad poziom morza wynosi hs = ISO. W rozważaniach nie było istotne, że Ad BC jest równoboczny. Powyższe rozwiązanie zapiszemy korzystając z rachunku wektorowego. Niech i'a. ’’b, Vę oznaczają promienie wodzące odpowiednio punktów A, B, C. Wtedy wektor wodzący środka masy wyraża się wzorem

fs = r + ?o + n?) •

•O"

• Przykład 5.27

Plaski stok opada w kierunku południowo-wschodnim pod kątem a = 30°. Nad stokiem trzeba przeprowadzić w kierunku z zachodu na wschód poziomy prostoliniowy rurociąg- Podpory podtrzymujące rurociąg ustawia się co d = 10 m (długości rurociągu). Obliczyć wysokości kilku początkowych podpór rurociągu.