DSC07368

154

Geometria analityczna w przestrzeni

•    Zadanie 5.8

Obliczyć pola podanych powierzchni:

a)    równoleglobok rozpięty na wektorach a = (1,2,3), b — (0, —2,5);

b) trójkąt o wierzchołkach A = (1, -1,3), B = (0,2, -3), C = (2,2,1);

c)    czworościan rozpięty na wektorach 5. v, w.

•    Zadanie 5.9

TWjkąt ABC rozpięty jest na wektorach AB= (1,5,—3), AC = (—1,0,4). Obliczyć wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C.

•    Zadanie 5.10

Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

a)    5 = (-3,2,1), b = (0,1,-5), Ć= (2,3, -4);

b)    u = i + j, v = 2i — 3j + fc, i» = -i + 2j-SE.

•    Zadanie 5.11

Obliczyć objętości podanych wielościanów:

(-1,2,3), ć = (2,3,-!),£> =

a)    równolegloćcian rozpięty na wektorach u = (0,0,1), b =

(2,5,-1);

b)    czworościan o wierzchołkach A = (1,1,1), B = (1,2,3), C =

1¹3,5);

c¹) równo leg lościan o przekątnych u, v, w.

•    Zadanie 5.12 Sprawdzić, czy

a)    wektory 3 = (-1,3, -5), 6 = (1,-1,1), ć = (4,-2,0) są współpłaszczyznowe;

b)    punkty P = (0,0,0), Q = (-1,2,3), R = (2,3,-4), S = (2,-1,5) są współpłaszczyznowe.

Zadania

f) płaszczyznę przechodzi przez punkt P = (2,1, -3) i jest prostopadła do płaszczyzn ffj: ² + y = Oi •' U — ^z = 0.

a Zadanie 5.14

Napisać równania parametryczne i kierunkowe prostych spełniających podane warunki:

a)    prosta przechodzi przez punkt P = (—3,5,2) i jest równoległa do wektora 3= (2, -1,3);

b)    prosta przechodzi przez punkty P\ = (1,0,6), Pj = (—2,2,4);

c)    prosta przechodzi przez punkt P = (0, —2,3) i jest prostopadła do płaszczyzny *: 3x — j/ + 2z — 6 = 0;

d)    prosta przechodzi punkt P = (7,2,0) i jest prostopadła o wektorów v, = (2,0,-3),3j = (-1,2,0);

e)    prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste

. x + 2    y—4 z . _x + 2 y-4 z

:rX^{J    1} ' n|g 5'    ²-    1    ‘ -5    3’

f²) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste

/ . ł _ V+ 1 _ ² —2    . _ x4-6 _ y — 1 _ z + 29

^{1 :}    2 ~ ~-T ~ 2 ’    ^2:    4 1 -3    -12 ’

• Zadanie 5.15 Zbadać, czy

^a) punkty A = (1,2, 3), B = (—1, —2,0) należą do prostej

x = 1 +1,

l : { y = 2-1-2i, gdzie t € R;

z = 3 — t,

ł>) prosta m : i 2² + W — -+3 — 0 • _{t zawar}^_{tt w} płaszczyźnie ( i — 2j/ + z — 5 = U

rr : 5y - 3s + 13 = 0;

^c) punkty A = (0,1,5), B = (1,2,3) należą do płaszczyzny ■ x=^-l + s + t,

y = 2 + 3s — t, gdzie a, { e R;

I ²=3!-a + 2t,

x+l

d) proste ł, :

w — 3    z + 4 rfk x p — 1    — — 2

BjJfP V" ⁼ w '^{2 !} T ⁼ 1---2“ ^n,aj,»^punkt

wspólny;

■Jf. x = t, ²

e) prosta l : { j/ = 1 + 21, gdzie t € R, jest równoległa do płaszczyzny

| = 2 + 3i,

7r : x+ y — 2 + 3 = 0.

1

   Zadanie 5.13

Napisać równania ogólne i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:

a)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, —2,0) i jest prostopadła do wektora n = (0, —3,2);

b)    płaszczyzna przechodzi przez punkty Pj = (0,0,0), P₃ = (1,2,3), P3 = (-1.-3.S);

c)    płaszczyzna przechodzi przez punkty Pj = (1, —3,4), P₂ = (2,0, —1) oraz jest prostopadła do płaszczyzny zOz;

d)    płaszczyzn¹ przechodzi przez punkt P = (1,—1,3) oraz jest równoległa do wektorów 3 = (1,1,0), 5 = (0,1,1);

e)    płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0,3,0) i jest równoległa do płaszczyzny sr: 3x — y + 2 = 0;

2

Zadanie 5.16

Znaleźć punkty przecięcia: