4550

126 Geometria analityczna w przestrzeni

0 Zadanie 11.8

Obliczyć pola podanych powierzchni:

a)    równoległobok rozpięty na wektorach ii = (1,2,3), $ = (0, -2,5);

b)    trójkąt o wierzchołkach A = (1,-1,3), D = (0, 2,-3), C = (2,2,1);

c)    czworościan rozpięty na wektorach 0, 9, O.

O Zadanie 11.9

Trójkąt ABC rozpięty jest na wektorach ABa (1.5, -3), AC— (—1,0,4). Obliczyć wysokość tego trójkąta opuszczoną z wierzchołka C.

O Zadanie* 11.10 Dane są wartości trzech sił:

fi = |Jil=3N, /*= |f?| te 4 N, F₃=\fs\ = SN.

Jaki powinny być skierowane w przestrzeni te siły, aby ich wypadkowa była wektorem zerowym ?

Odpowiedzi i wskazówki

11.1    a) 13; b) 4; o) y/PT*⁷; d) tf.

11.2    j(« + fi), jl -J, -I - a.

11.3    a) i ■ (ctóo.sino.O); b) i = (coło.cos^cosy); c) 8 = —^ (2.3. — 2) lob

11.4    a) S;b) -17; c*) -I.

11.5    a) Mccoa^p ss 2,ST(rad] as 185,8*; b) jliad); c) 91 - ■ arccos »

0,52 [rad] as 29,S\ 9, ■ arccos ss 0,39(radJ ss 22,3°, ?s - arccos^|. ss 0,75( rad Jss 43,0*.

11.8 -le.

$3

11.7    a) H, -6, -17); b) Jl + 5j + 2*; C*) p - 7g + Sr.

11.8    n) 5= v/285; b) S m \Z5T;

c) .V - I (|. _x S| + |5 _x *| + | w x «| + |(i - 5) x (w - v) |) •

11.9 kt =

otworzyć trójkąt (prostokątny).

11.10* Siły te po przesunięcia równoległym powinny

Dwunasty tydzień

m

Iloczyn mieszany (5.4). Równanii

Przykłady

• Przykład 12.1

Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

a)    5 = (3,—2,5), 5 = (1,-1,3), 2= (-2,2,1);

b)    p+ 9-    ~ ?• ¹. jezdi (p,?, r) = 3.

Rozwiązanie

i =

(fi, 5,²)= x_a n „

Dla wektorów ii = (3,-2,5), 6 = (1, —1,3), c = (-2,2,1) mamy

(u, fi, fi) =	3 -2 5 1 -1 3	*1 ~^3-2	0    1 -4 1    -i 3
	-2 2 1	•^2'J + 2«^2>2	0 0 7

b) W rozwiązaniu wykorzystamy następujące własności iloczynu mieszanego

(i+ 5. w, 7) =(!,»,?) + (»,», ?),

(ofi, f. w) = o (fi, 8, fi),

(fi.fi, w) = -(fi.fi, w).

Mamy

(p+5,2p- q,f) = (p,2p- ?,7) + (5,2p- r/,f)

= ² (p- p- ^?) - (p. 3. ¹) + ²(9. p- f) — <§. 9. ?)

= 20-Cp,«7₁r)^2(p₁g,r)-0 = -3(p.9,?)= 3- (-3) = -9.

(3,0,4), /ł' = (0,-l,3);

b) czworościan rozpięty na wektorach p = (1,1,1), ? = (1.-1,0), ?= (—1.3, -2).

1

•) równoległościan ABCDA'B'ĆD\ gdzie A = (1,0,3), B = (1,2,0). D =

2

Przykład 12.2

Obliczyć objętości podanych wielościanów: