dziawgo; Granice ciągów liczbowych 4

114 Granice cic{gów liczbowych

t) limVl + 3” +5" +7” ,

1 - 2 + 3 - 4 + 5-.. .-2n u) lim-,    -

^1W0°    V n² + 1

2n , o n+1

w) lim

5 • 2    + 2

n->(»    3¹¹ -f 1

y) limf—

^n_>cov 3n -1

2n

aa) lim(V8n³ -1 - 2n),    ab) lim

n-»oo\    /    u—>oo

x) limVn²6ⁿ + n²5ⁿ ,

n—>oo

2n² sin(n + l) z) lim---,

n-^oo    {_ _n³

»2n+l on

2n-2    , n o3n-l

n->co 2    +3-2

ac) lim

1 + a + a +...+a

n-*»    1    1    2    n

1 + a + a +...+ a 2    4    2”

ad) lim

sin²(n) + cos(n³ +8n)

1

n->°o n + n +1

, ae) limsin(n!)ctg(n!)—,

11-4®    O

af) lim

71

nln 1— cos —+ 2n;i

V n

ag)    lim(Vn + Vn +1 - sin - Vn +7),

n—>co \    J

ah)    lim

n-»oc

aj) lim

n->oo

al) lim

1 + 2 + 3+...+n

10n^2
2 + (-1)"	n
3" Inn	5
log 3 n^5

log 27 n am) lim n [ln n - ln (n +1)],

ai) lim

4n + V9n + 6n + 1

n->» - ii + V4tr + n 4-2^4n+l +1

ak) lim

i6"+(i)ⁿ+r

jglog₂n

ał) lim

11-^°° 27¹⁰⁸³¹¹

111(1 + 7) an) lim---

n —'

Ćwiczenia 15

dranica funkcji. Ciągłość funkcji jednej zmiennej

/ mianie 1.

\A/ I "i .-yslując definicję: |) ¹ łiuchy’ego,

» • 11' mego,

x(x^{2 3 4} -25)

pi..... . Iunkcji wykazać, że lim-= 50.

^x->⁵ x - 5

Uo/wlsjzanie:

•• ¹ '■ linieją Cauchy’ego.

^: ży udowodnić, że dla każdej liczby 8 > 0 istnieje taka liczba 8 > 0, że '••■i I n/dego x spełniającego nierówność:

ll) 0 X — 5| <8 zachodzi nierówność

i ' i

s(x ’ -25)

-50

< 8 .

x - 5

• 'In dowolnego x + 5 mamy:

25)

50

x“ +5x-50

= |(x +10)(x - 5)| = |x - 5||x +10| =

i fi

*|x    5 i 15| <|x-5|(|x-5| + 15), czyli

< |x — 5| (|x — 5| +15) .

²^-50

x 5

1

• fi i* 1.1    8 ini»{ I,— } oraz niech będzie spełniona nierówność (1).

2

16

3

l "i •• ¹ mv, /e wlcdy zachodzi nierówność (2). Z nierówności (1) wynika, że

4

|x 5| 1 \5<, 16 i |x 5|(|x~5| + 15)<-^16=8,

5

H Im nu 1»iw nośe. wob« < ( fi implikuje nierówność (.fi.