Dziawgo; Macierz odwrotna Równania macierzowe 2

68 Macierz odwrotna. Równania macierzowe

"6 -1 -4		' 12	-0,2	-0,8"
-1 1 -1		-0,2	0,2	-0,2
-8 3 7		-i,^6	0,6	1,4 _

Wyznaczona macierz jest rzeczywiście macierzą odwrotną. Wystarczy sprawdzić, że A • A'¹ = I:

2-11"		" 1,2 - 0,2 - 0,8"		1 O Q|
3 2 2		- 0,2 0,2 - 0,2	II	0 1 0
1-2 1		1 cT r—* 1		0 0 1

b) metoda Jordana-Gaussa.

Ponieważ macierz A jest macierzą kwadratową i wyznacznik jej wynosi det A=5 (macierz A jest macierzą nieosobliwą stopnia 3), więc istnieje do niej macierz odwrotna A'¹ taka, że AA'¹⁼ A''A=I₃.

Wykonując ciąg odpowiednich operacji elementarnych na macierzy (na wier

szach)

C =

B

i₃ia

AL

możemy sprowadzić tę macierz do macierzy

, gdzie A jest macierzą odwrotną do A.

(3x6) -I

	A !	i,
2	-1 1 j 1	0	0	Wj		Wj-w2
3	2 2 | 0	1	0	w2:=		= ^W2
1	-2 10	0	1	w3:=		w3
~-l	-3 -1 | 1		-1		0"	w, := (-l)w,
3	2 2	! 0	1		0	^w 2 ^w 2
1	-2 1	i 0	0		1_	w 3 := w 3
"l	3 1 !	-1	1	0~	w	^wj
3	2 2 j	0	1	0	w 2^: — w 2 -3w, ~
1	-2 1 j	0	0	1	^w3'— w3 w,
"l	3 1	-1	1		0’	w, := w,
0	-7 -1	3		2	0	W 2^: = w2 — w3
0	5 0	1		1	1	w,: = w 3

Wykonujemy ciąg operacji elementarnych na wierszach macierzy [a|i₃].

tak żeby w miejsce macierzy A otrzymać I3.

3	1	M	1	0	w,:= Wj
-2	-1	2	-1	-1	w2:= w2:(-2)
-5	^0	1	-1	1	C^t Ź II £
3	i |	-1	1	0 "	Wj:= Wj -3w.
1	0,5	-1	0,5	0,5	w2:= w2
-5	0	1	-1	1	w3:= w3 +5w

0 -0,5	2	-0,5	-1,5	w,:= w, +0,5w3
1 0,5	-1	0,5	0,5	^W2^; — w2 - 0,5w
0 2,5	-4	1,5	3,5	w3:= w3:2,5

1	0	0	^1,2	-0,2	-0,8
0	1	0	-0,2	0,2	-0,2
0	0	1	| -1,6	0,6	1,4
			" 1,2	-0,2	-0,8“
ud	A"'=		-0,2	0,2	-0,2
			-1,6	0,6	1,4

/arianie 2.

l i macierzy A=

1    4

2    6

sprawdzić, następującą własność macierzy odwrotnej:

(a^t)-'=(a-')^t.

A

Uo/wiązanie:

I 2

4 6 (A^t)-'=-0,5 Ii i A -2

, det A = -2, D=

6 -4

-2 1

D^t=

6 -2'

-4 1

I)'

() 2

4 I

6 -2 4 I

I)'¹

Hi/ymaliśiny (A ¹)' (A¹) ¹

, (A ')    0,5

6 -4 2 I