fizyka zadanieB

INDUKCJA ELEKTROMAGNETYCZNA

Zauważmy, że powstająca siła elektrodynamiczna jest proporcjonalna do prędkości i ma kierunek przeciwny do wektora prędkości. Działa ona na spadający pręt tak jak siła oporu ośrodka.

42. Na dwóch równoległych poziomych szynach położono pręt o długości / i masie m. Szyny są połączone ze stałym źródłem napięcia U i znajdują się w jednorodnym polu magnetycznym o indukcji B, prostopadłym do płaszczyzny, w której leżą szyny. Współczynnik tarcia pręta o szyny wynosi /. Znaleźć zależności prędkości pręta od czasu. Jaką maksymalną prędkość osiągnie pręt?

Na pręt działa siła elektrodynamiczna F o wartości F=B 11 i siła tarcia Ft = fmg (patrz rysunek y obok). Jeśli siła tarcia będzie mniejsza od siły elektrodynamicznej, to spoczywający w chwili początkowej pręt zacznie przesuwać się w wyniku zadziałania siły wypadkowej

Fwyp - F-Fj = BIl -fmg .

Ruch pręta będzie z kolei powodować zmianę strumienia pola magnetycznego przenikającego obwód i powstanie w obwodzie SEM indukcji o wartości:

d<D d /

Z reguły Lenza wynika, że w tym przypadku e_t ma kierunek przeciwny do kierunku napięcia U. Stąd natężenie prądu w obwodzie wynosi

1 =

U-BN

R

Czyli siła wypadkowa działająca na przesuwający się pręt wyniesie

U-Blv ,    BI,

F_wyp = B 11 -fmg = B

l. - fing = p(U-Blv)-fmg

Z II zasady dynamiki mamy, że

F,

wyp

!—

d/

czyli

^(£7- Bh)-fmg = m^.

Jest to równanie różniczkowe pierwszego stopnia ze względu na prędkość v. Po drobnych przekształceniach otrzymujemy

d v B²l²\( U    fmgR 1

d / “ mR [\Bl~'^,)~ B²!² J ’

a stąd

d v _ B² /² . u fmgR    mR

BI- B²a ~^V

Otrzymaliśmy równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych. Po obustronnym scał-kowaniu mamy

Stałą całkowania wyznaczymy zakładając, że dla t-0 pręt spoczywa, czyli v=0

Możemy już wyznaczyć zależność prędkości poruszającego się pręta od czasu:

Jak widać prędkość nasyca się z czasem. Prędkość maksymalna v_max wystąpi, gdy t -» oo. Wynosi ona

U_ fmgR

Vmax ~ bi ~    52/2 ■

Zauważmy, że prędkość maksymalną możemy obliczyć bezpośrednio również z wyjściowego równania zakładając, że ruch odbywa się ze stałą prędkością

Fwyp = F-Fp = 0 .

43. Rozwiąż zadanie 42 w sytuacji, gdy szyny są połączone ze źródłem stałoprądo-wym o natężeniu I.

->

-►

-4-

I=const

Źródło stałoprądowe nie dopuści do zmian natężenia prądu w obwodzie. Tak więc w tym przypadku pręt porusza się pod wpływem stałej siły elektrodynamicznej F-BI l pomniejszonej o stałą siłę tarcia Fj =fmg. Ruch pręta będzie więc ruchem jednostajnie przyspieszonym. Stałe przyspieszenie a wyznaczymy z II zasady dynamiki:

ma = Bil - fmg .

Tak więc

Prędkość w ruchu jednostajnie przyspieszonym rośnie liniowo z czasem i wynosi

Widzimy, że zmiana sposobu zasilania obwodu ze stałonapięciowego na stałoprądowe w bardzo istotny sposób wpłynęła na przebieg obserwowanego zjawiska. W pierwszym przypadku prędkość pręta będzie wzrastać coraz wolniej zbliżając się eksponencjalnie do swojej wartości maksymalnej. W drugim przypadku prędkość pręta będzie rosnąć liniowo bez żadnych ograniczeń. W rzeczywistym doświadczeniu oczywistym ograniczeniem będzie utrata zdolności źródła prądu do stabilizacji wartości natężenia prądu w obwodzie bądź też długość szyn tworzących obwód.

t

63