liczby Z
9

36

2. Liczby zespolone

Wniosek 2.6.1. Dla liczb zespolonych z = |z|e>* i w = \w\e^3v oraz liczby naturalnej n mamy:

(1)    z = w wtedy i tylko wtedy, gdy \z\ = |m| = 0 albo \z\ = |m| > q i tp — ip + 2kn dla pewnej liczby całkowitej k;

(2)    zw =

(3)    z" = \z\ⁿe^jn,fi (oraz (e-^7v’)ⁿ = e*^nip, co jest wzorem de Moivre’a);

(4)    ż = Izie

(5)    z = \h^e~^iv> (^{gdy z}^°)^;

(6)    f =    (gdy z fi 0);

(7)    pierwiastkami n-tego stopnia z liczby z = \z\e^3<p ^ 0 są liczby

^zk= \A^z\^ej£±^^{JL dla} k = 0,l,...,Tl-\,

a pierwiastkami n-tego stopnia z jedności są liczby

^ i

Przykład 39. Korzystając z postaci wykładniczej liczby zespolonej, rozwiązać równanie (z)⁴ = — 9|z²|.

Załóżmy, że z = re³^. Ponieważ z — re ■^?v?, \z\ = v i —9    9e³ , więc mamy równo

ważności

(z)* = -9|z²|    r⁴e~^4iv = 9r²e⁾ⁿ

<=> r = 0 albo r = 3i — 4p = tt + 2A:7t (k £ Z)

<=> r = 0 albo r = 3 i <p = ^ 4- ^l-j- (/ = 0, 1,2,3)

<=> z ~ 0 albo z = 3e^j("*⁺ⁱr) (1 = 0,1,2,3).

Zatem rozwiązaniem równania są liczby z\ = 0. 22 = -^(1 4- jf), Z3 = ^-(-1 4- j), ^2:4 = TjC^-1 “i) ¹ *5 = T^¹ “i)*

2.7. Ćwiczenia

1. Znaleźć część rzeczywistą i urojoną następujących 4. liczb zespolonych:

(a)(l+2;)⁶;    (6)i=-^;    (c)

(h) —l_±2_tJL2— *

' * cos a+j sin a ’

(d) 1 - cos i + j sin x;

m i-\⁺t$ł^Ąn:

2 + >

1 + j tg Q

1 + j '    1 -Jtga

2. Rozwiązać równania, w których niewiadome x i y są ^ liczbami rzeczywistymi:

(a)    (7 + 2j)x - (5 - 4j)y =    -1 - j\

(b)    (1 + 2j)x + (3 - 5j)y =    1 - 3j;

(c)    (5 - 8j)x + (7 + 3j)y =    2 - j;

(ci)    (2 + 3j)x² 4- (2 4- j)x +    (4 - 3j)y = 8 + 17j.

3 Rozwiązać następujące równania, w których niewiadoma z jest liczbą zespoloną:

(а)    (1 4- j)z 4- 2jz = 1 4- 5j;

(б)    zz 4* 2z = 19 4- 4j;    6

(c) |z| - z = 1 4- 2j;

(<*) W + (l+i)* = 4 4-7j;

W l(2 + J>|-(3-j)z«-5j;

(/) zź4-2(z-z) = 25- 12j.

Wyznaczyć i zaznaczyć w płaszczyźnie zbiór wszystkich z spełniających warunek:

(а)    |z| 4- |z - 2j| = 2;

(б)    |z 4- j\ 4- \z - j\ = 4.

Następujące liczby zapisać w postaci kartezjańskiej:

(а)    (2 + 3j)(l+j)(7 - 3j)(7^3T);

(б)    30 (cos 7r 4- j sin 7r) ( cos ^ 4- j sin ~ );

(c)    6(cos - 4- j sin (cos §7T 4- j sin §7r);

(d)    3 (cos 42° 4-j sin 42°) ( cos 168 4-j sin 168°);

/ \    >/§(coa 147°-f jsin 147°)

' ’    v/2(co» 57° -f J sin 57° )

(/) (cosf + jsinf)¹²(cosy^ + jsin^)~°.

Wyznaczyć postać trygonometryczną następujących liczb:

(a) (5 + 5j) ■ ³~

(c) tga + j;

W