Matematyka 2
9

18 1. Getimmria atuiłtlycznti w przestrzeni

2. PŁASZCZYZNA.

RÓWNANIE OGÓLNE PŁASZCZYZNY. Płaszczyznę * przestrzeni trójwymiarowej wyznaczają m.inn. punkt leżący na tej płaszczyźnie i wektor prostopadh do tej płaszczyzny

TWIERDZENIE 2.1. Załóżmy, że niezerowy wektor ii = [ A.B.CJ <tzn. A* -f D² 4 C > 0) jest prostopadły do płaszczyzny tt i punkt P_fl(x₀.y_l>łz₀) należy do tej płaszczyzny (ry s 2 I).

Wówczas punkt Pi x,y,z) należy do płaszczyzny it wtedy i tylko wtedy, gdy liczby x, y, z spełniają równanie liniowe

(2.1)    A(x-x₀)+ B(y-y„) + C(z-z₀) = 0.

Dowód.

Rys 2.1.

Niech P(x,y,z) będzie dowolnym, rożnym od P_{,. punktem w układzie współrzędnych Oxvz. Wówczas

P(X.V,Z)€71C^ P₀P||7tO P_flPifio ńoP₀P = Oc> e=>[A,B.C]o|x-x₀,y- y₀,z-z₀] = Oo o A(x-x₀) + B(y-y₀)-rC(z-z₀) = 0.

Łatwo sprawdzić, że współrzędne (x_o.y₀,z_o) punktu P₀ też spełniają to równanie.    U

Jeżeli w równaniu (2.1) wykonamy działania i oznaczymy -Ax₀ By„ - Czo = D. to otrzy mam> równanie płaszczyzny w postaci

(2.2) Ax »By-rC’z + D = 0, gdzie A^ B^:+C'>0, zwane równaniem ogólnym płaszczyzny.

Na przykład płaszczyzna n przechodząca przez punkt P₀(3.1,-l) i prostopadła do wektora [2,0.-3] ma równanie

n: 2(x -3) + 0(y- 1) - 3(z + I) = 0,

czyli

it: 2x-3z-9=0.

PRZYKŁAD 2.1. Napiszemy równanie płaszczyzny i przechodzącej przez punkt P„(2,3-1) i równoległej do wektorów r, =[1,2,3], r₂ =[-1.3.01,

Punkt P₀(2,3,-1) należy do płaszczyzny n, zatem tt; A(x-2)+B(y 3)+C(z + l) = 0

Płaszczyzna n jest równoległa do wektorów ij, r>. zatem wektor n = [A,B,C| jest do łych wektorów prostopadły. Możemy więc przyjąć

ii = | A. B.C]= r, x fj «[!.2J) x [-13,0] = [-9,-3.5].

Płaszczyzna ti ma więc równanie

ir: -9(x-2)-3(y-3)+5(z+l)=0,

czyłi

rt: 9x + 3y-5z-32=0    ■

PRZYKŁAD 2.2 (równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy' punkty). Napiszemy równanie płaszczyzny z przechodzącej przez punkty P( 1*2.3). Q(0,3,5), RM.2.0), (rys 2.2).

Punkt P( 1,2,3) należy do płaszczyzny rt. zatem k : A(x- 1) + B(v — 2)+C(z-3) = 0.

Wektor ń = [A,B,C] prostopadły do płaszczyzny rt spełnia warunki ń±PQ oraz ń_LPR. a zatem możemy przyjąć

ri - [A. R.Cl = PQ x PR = [-1,1,21 x [-2,0.-3] = [ -3,-73].

Płaszczyzna n ma więc równanie

n: -3(x-l)-7(y-2) + 2(z-3) = 0 czyli    n: 3x+ 7y-2z-11 = 0.    ■