Matematyka 2 7

56 I Geometria analityczna w przeitrzem

2)    Równanie

^X— - ^-7 = 1, gdzie a > O, b > O a* b~

jest w układzie współrzędnych Oxyz równaniem powierzchni walcowej,

* z

którei kierownicą iest hiperbola o równaniu    -=1 leżąca na płasz-

a‘ b‘

czy/nie 0x>, zaś tworzące są równoległe do osi Oz. Powierzchnię tę nazywam) walcem hipcrbulicznym (rys 5.4). Walec ten jest symetryczny względem wszystkich płaszczyzn, osi i początku układu współrzędnych Oxvz.

3)    Równanie

y² = 2px, gdzie p*0

w układzie Oxyz jest równaniem walca parabolicznego (rys 5.5 dla p>0), którego tworzące są równoległe do osi Oz, zaś kierownicą jest

parabola o równaniu y^: = 2px na płaszczyźnie Oxy. Walec ten jest symetryczny względem płaszczyzn Oxz, Oxy i osi 0x

Na przykład równanie z=l-\^f* w przestrzeni R'z układem współrzędnych Oxyz jest równaniem walca parabolicznego o tworzących równoległych do osi 0x i kierownicy K:    1-y² na płaszczyźnie Oyz

(rys 5.6).

PRZYKŁAD 5.1. Napiszemy równania przekrojów walca eliptycznego o równaniu x^:+4y²-IOO płaszczyznami ir,:x = 6. ft₂: z=4.

Przekrój płaszcz>^rzną ir_: jest elipsą o równaniach Ix² +4v^: = 100, _

ino 25 z=4.

Przekrój płaszczyzną rt, określają równania

36 + 4y² = 100, x = 6,

fx‘ +4v² = 100,

<r*

[x = 6,

Przekrojem są więc dwie proste

y=4,

x = 6.

y = -4, x = 6.

y=±4. x = 6.

12=4,

SFERA. Powierzchnią kulistą (sferą) o środku S(x₀,y₄,Zg) i promieniu r, r>0, nazywamy zbiór punktów P(x,y,z), których odległość od środka S jest równa r (rys 5.7). Zatem

P(x,y.z)esfery <=* |PS|= r o ^(x-x_u)^:+(y-y₀)^?+(z-z₀)‘ =r, skąd otrzymujemy

(5.4)    (x-x₀)² r(y-y₀)²+(z-z_n)² = r, gdzie r>0

To ostatnie równanie jest równaniem powierzchni kulistej o środku S(\₀,y₀,Zo) i promieniu r.

Rys 5.7.

Na przykład równanie powierzchni kulistej o środku S(-1,2,3) i Promieniu r=2 ma postać

(x + l)^J+(y-2)^!ł(z-3)^I = 4, ^a Po wykonaniu działań

x^: + y^: + z‘-t-2x-4y-6z + IO=0