Matematyka 2 5

54 III Rachunek ui/Amn funkcji wiejuzmicnmch

Ponieważ

(u.v|eio|0<uśl a -2< v < 11 <->

o (0<|<x-*2y)<l a 2<^(\-y|<I) ct>

*=• (~<y<“p^ f v-.3sy<x-6).

w ięc

(u,v)fc- \<->lx.y)« D=|(x.y)c K^J: ^ < y <    a x-3£y<x-»6).

I) (równoległobok) Obszary A i O są

jest obrazem pr»»-przedstawionę n«

Oznacza lo. że obszar domknięty stokąta A w przekształceniu (I). rysunku 3.1.

Rys .3

Na płaszczyźnie ohier/iny. tak jak na rysunku 3.2, dwa układy

współrzędnych: prostokątny ()xy i biegunowy. przy czym oś biegunowa Or pokry wa się z dodatnią półosia 0x. Dowolnemu punktowi l^ł płas/c/y-zny przyporządkowujemy współrzędne (x,y > w układzie Oxy oni/ współ* rzędne (r.ipi w układzie biegunowym Współrzędna r oznacza odlegli ¹ punktu I’ od początku układu, zatem r>0 Naiomiustr »;> jcsl kalem, juki tworzy wektor o początku w punkcie 0 i końcu w punkcie I* z osią biegunowa Ponieważ punkty (r.<p) i(r.<p*2k.t) pokrywają się. więc wy starczy przyjąć, ze współrzędna ip przyjmuje wartość z dowol

przedziału o dłużej 2jt . Między współrzędnymH x.y) i (r.<p) zachodzą

nu stępujące związki

(3.2)    x = rcose>. y=rsintp

PKZYKLAD 32.Niech D= {(x,y)eK^:: x^:+y'<l a y>0). Obierzmy układ biegunowy tak. jak na rysunku 3.2 i załóżmy, że współrzędna «p«-( it.JT>. 7. rysunku 3.3 a) odczytujemy, żc punkt (x,y)eD wtedy i tylko wtedy, gdy współrzędne biegunowe tego punktu spełniają warunki: 0 < r < I. 05tp<ti.

Zatem

(x.y )<=Dcs(r.q>lG A = !(r.ę>): 0<r< I a 0<<p<ir! -Jeżeli teraz współrzędne biegunowe r i ip potraktujemy jako współrzędne układu prostokątnego Orip. to możemy powiedzieć, ze obszar L) jest obrazem prostokąta A (ry s 3.3 b)) w przekształceniu (3.2).

Rys 3.4

Podobnie, korzystając z interpretacji geometrycznej zmiennych r i <p . otrzymujemy, żc obszar

D= |(x.y)eR^:- l<x²+yś^:4 a x>0|