Matematyka 2 5

164 11! Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

4. ZASTOSOW ANIA GEOMETRYCZNE

CAŁKI PODWÓJNEJ.    |

•

OBJĘTOŚĆ BRYŁY'. Z zagadnieniem tym spotkaliśmy się juź w' pierwszej części tego rozdziału przy interpretacji geometrycznej całki podwójnej. Uogólnimy teraz uzyskany tam wzór.

TWIERDZENIE 4.1. Jeżeli bryła V jest określona następująco

V = U*,y,z)eR-: f,(x.y)<zśf₃(x,y) a (x,y)€D}

gdzie f, / f_; są funkcjami ciągłymi na obszarze regularnym D. to objętość IV| lej bryły wyraża się wzorem

(4.1)    |V|= JJ[f₂(x,y)-f,(x,y)jdxdy.

D

Wzór (4.1) pozwala obliczyć objętość bryty V ograniczonej powierzchniami z=f|(x.y). z = f₂(x,y) i powierzchnią walcową, której kierownicą jebt brzeg obszaru D.

a tworzące są równoległe do osi 0/_ Zauważmy, że obszar D jest rzutem prostokątnym bry ły V na płaszczyznę Oxy.

PRZYKŁAD 4.1. Obliczymy objętość bryły V ograniczonej powierzchniami:

a)    z = 7-x^:, z = 3, y=0, y = 4,

b)    z=4-x²-y², z = -5.

a) Bryłę V i prostokąt D. który jest rzutem prostokątnym tej bryły na płaszczyznę Oxy (rys. 4 I) można zapisać jak następuje:

V = {(x,y,z)eR': 3£z<7-x² A(x,y)eD|,

D = {(x,y)eR²: -2<x<2 a 0<y<4}.

Stąd wynika, ze objętość bryły V. zgodnie z (4.1). jcsl równa

2 4    2

|V|= JJ(7-x²-3)dxdy= J|J(4-x^:Xi>]dx= J-ł(4-x² )dx =-^ .

D    -2 0    ‘    2

b) Bryła V jest ograniczona paraboloidą z=4-x² -y² i płaszczyzną z = -5. Krzywą przecięcia tych powierzchni jest okrąg K określony równaniami

|z = 4-x^:-y².

|z = -5,

czyli

9 = x^:+y*,

z = -5.

Rzutem prostokątnym bryły V (rys 4.2) na płaszczyzną Oxy jest wiąc koło D określone nierównością x² +y² <9.

Zatem

YsUK-y^jeR’: -5Sz<4-x^:-y² A(x.y)eD|,