Matematyka 2 21

320 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

320 V. Elementy rachunku prawdopodobieństwa

■ + a.

P( A)=a,₁ +0^ +

PIO. Jeżeli; l)Q = n (symbolem Z oznaczamy liczbę cłem en tó\ zbioru Z). 2) zdarzenia jednoelementowc są jednakowo prawdopodoł

P({a),J)=P({(n₂})=...= P({u)_n}) = ~-, 3)zdarzeniu A sprzyja k zdarzeń elementarnych, A = k . to

j _ k ₌ liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu A n liczba wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Q

Przypomniane w tym twierdzeniu własności pr-stwa. z wvjątki< własności P8, znane są Czytelnikowi ze szkolnego kursu rachunl pr-stwa. Własność P8 dla n = 2 wynika z własności P7; w przypadku o-gólnym dowód przeprowadza się metodą indukcji matematycznej.

Własność PIO jest dla nas twierdzeniem dotyczącym wcześnie już określonego pojęcia pr-stwa. Dla matematyka i fizyka francuskiego P.S. Laplace'a własność ta. sformułowana przez mego w 19l2r., pełniła rolę definicji pr-stwa. Dlatego własność tę nazywa się klasyczną definicją pr-stwa albo definicją Luplace'a.

PRZESTRZEŃ PROBABILISTYCZNA. Z dowolnym doświadczeniem związaliśmy już trzy pojęcia; PZE f2, zbiór zdarzeń cA oraz pr-stwo P określone na tym zbiorze A ; trójkę (Cl_tCA. P) nazywa się

przestrzenią probabilistyczną (PP); jest ona modelem rozważanego doświadczenia losowego.

PRZYKŁAD 2.1. Pracownik obsługuje trzy tego samego ro-dzaju maszyny. W ciągu godziny każda z nich co najwyżej raz może wymagać interwencji pracownika z pr-stwem 0,5. Zbudujemy PP (^^.P) dla tego doświadczenia.

I) Określamy najpierw PZE O. Jako zdarzenia elementarne co, przyjmujemy irzywyrazowe ciągi (i,,i₂,i₃), gdzie dla j = 1,2.3, i, = l albo i₍ =0 stosownie do lego czy i-ta maszyna wymagała interwencji pracownika czy pracowała bez zarzutu Zatem

Q= (o), =(0,0,0). co₂ =(0,0,1), to₃ = (0,1,0), ©₄ =(1,0,0),

o₅ = (0,1,1), oj₆ = (I,0,1), co₇ = (1,1,0), io_g=(l,!,!)}.

2) Wyznaczamy zbiór zdarzeń cĄ. Zdarzeniami są tu wszystkie podzbiory przestrzeni Q. Liczba wszystkich zdarzeń dana jest równością 2* = 256. Mamy tu:

₍₎j = i -jedno zdarzenie niemożliwe: A, -0.

^1=8 zdarzeń jednoclementowych:

Aj*{u),K Aj« |(i)₃J.....A₉ = jcD|}.

8^

(8

= 28 zdarzeń dwuclemcntowych postaci {cd^.w,}, gdzie

k,!=l.Z.....X. k*l:

A|₀=    A,| = {fó,,o)j},    ,    A,₆ = {w_|to)_g|.

A,₇={u)₂,(d₃}----- A_u = {(U^tOul, ...    A„ = {(o₇,0)₈}.

( ^]=56 zdarzeń trzyelementowych postaci {a>_k,aj_|.co_(n}, gdzie

k,l,m = l,2,...,8, k*m*l:

Aj* = {<o,,(i>2,«o₃}, ... A^ = {o)₆,co₇,(i)_K|

f^)=70 zdarzeń czteroclementowych postaci {(i)_k.(o_l,0)_m,a)J.

gdzie k.l.m.s= 1,2.....8. k*m*l = s:

A,_u = {(i),,Cl),,Ułj,(0₄ | , ... Aj_ftj = {(Oj.lD^.fO-r.COg}

(jjj] = 56 zdarzeń pięcioelementowych:

A|_M = |(D,,(0₂t(Oj,(l)₄,0)₅} , ... A_:iy = {0)₄,0)₇,0)₆,C0₇.(i)*} .

( 8'l

[    = 28 zdarzeń sześćioelementowych:

A2>0⁼ {(0|,....C0_fr} . ... Aj,,7 = |(i)j_l(0^,(0j,<l)₆,(i)₇,0)_g} .

( ^) =8 zdarzeń siedmioelementowych-

Aj_4g= {t0j,....W₇} ,    ...    Aj55= {(1) 2,0)3,. ..,(U„ |.

f 8^1

(gj = I - jedno zdarzenie pewne: A_M6 = n= {(a,,..„ta,}.