Matematyka 2 89

388 V Elementy rachunku prawdopodobieństwa

PRZYKŁAD 7.10. ZL X i Y z przykładu 7.4 są zależne, ponieważ

fx(^x)^,fv(y)=^x'*y(2-y²)*2xy=f(x,y).    ■

MOMENTY. Przyjmujemy, wykorzystywaną niżej, następującą terminologię.

1) Niech (X.Y) będzie WLS (o punktach skokowych (x,,y,) t skokach py) albo WLC (o GP 0- Niech poza tym będzie dana ciągła funkcja rzeczywista g zmiennych rzeczywistych x i y, z = g(x.y). Funkcja g(X,Y) ZL X i Y jest pewną ZL. powiedzmy g(X,Y)=U

Wartością oczekiwaną funkcji g(X,Y) ZL X i Y nazywa się liczbę bg(X.Y) określoną wzorem:

2>vyj)p,_r    (XY) jest wls.

tlef

(7.21) Eg(X,Y) -

\ jg(x,y)f(x.y)dxdy, gdy (X.Y) jest WLC,

przy założeniu, że szereg (gdy jest to ‘'suma nieskończona") i całka (gdy jest to całka niewłaściwa) są bezwzględnie zbieżne.

2) Momentem zwykłym m_u rzędu k-1 WL (X.Y) nazywa się wartość oczekiwaną funkcji g(X.Y)=X^kY‘:

act

(7.22)    m_u = E(X^kY‘).

3) Momentem centralnym p_k| rzędu k + l WL (X.Y). mającego momenty FX = m_x i EY = m_v. nazywa się wartość oczekiwaną funkcji g(X,Y) = (X-m_x)^k(Y-m_v)':

(7.23)

Jcf

Mu = El(X-ra_x)^l(Y-m_>)'].

4) Zanotujemy jeszcze pewne przypadki szczegół-n e momentów i związków między nimi:

m_(l0=l. m,„ = EX=m_x,    m,„=EY=m_v

Moo⁼ * (Jeśli istnieją m,„ i m,,,), p_lf,= E(X-m_x) = 0, p_o,«0*

H₂₀ = H(X-in_x)ⁱ - VarX. p_w = E(Y-m_v)^: =VarY.

H_:u —m,o~ni|₀,    Mci: ^{= m}v; “ ^,nói *

Ostatnie dwa związki wynikają ze znanej zależności:

VarX = EX²-(nX)^J.

KOWARIANCJA. Zajmiemy się teraz bardziej szczegółowo momentem centralnym rzędu 1 + 1, czyli momentem p_M.

Kowariancją cov(X,Y) ZL X i Y. mających wartości oczekiwane m_x i m_v, nazywamy moment centralny p_n:

(7.24)    cov(X.Y) = _MM = E[(X-m_x)(Y-m_vJl Wzór ten. gdy uwzględnimy typ WL, przyjmuje postać

(7.25)

X(^xi-^mxXyr^mY>P.r    gdy(X,Y) jest WLS.

def <x„y,ł

COV(X.Y) = ■ * *

| J(x-m_x )(y-m_v)f(x.y)dxdy. gdy(X.Y) jest WLC,

-cO—ac

TWIERDZENIE 7.6. Kowariancja cov(X.Y) ma następujące własności (X. Y - zmienne losowe dowolnego typu. mające momenty rzędu drugiego, a. b, c - stałe).

Cl cov(X,Y)=EXY-EX EY, czyli p_u =m,,-m_u,m₀,,

C2 cov(X,X)*VarX,

C3. cov(aX+c, HY +d)=abcov(X,Y),

C4 |cov(X.Y)|^a_xo_v; równość cov(X.Y)|=o_xo_v zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją stałe a. b, c takie, że P(aX+bY+c=0) = |, tj gdy z pr-stwem I ZL X i Y są związane zależnością liniową.

C5. Var( X±Y) = VarX+VarY ±2«ov( X. V).

Dowód Ograniczymy się do dowodu własności Cl i C3 ułatwiających obliczanie kowariancji.

Ad. CL cov(X.Y)= Ef(X-EX)(Y-EY)] =