matma8

jest liczbą rzeczywistą czyli jest postaci a + bi, to korzystamy z tego, że e^a+hl -e^a (cos b + i sin b) i wybieramy funkcje y = e^a cosbx i y - e^a sinbx. Ponieważ pierwiastki zespolone a + bi występują zawsze parami (a+ bi oraz a-bi, gdzie b > 0), to jako b zawsze wybieramy liczbę dodatnią. Jeżeli równanie charakterystyczne jest funkcją kwadratową, to jeżeli ma: a) dwa różne rozwiązania rzeczywiste r, i r₂, to rozwiązanie ogólne ma

postać y = C_xe'^x + C₂e^hx b) jedno rozwiązanie rzeczywiste r₀ (czyli pierwiastek podwójny), to y = (Q + C₂x]e^r°^x c) dwa rozwiązania zespolone r_x = a+ bi i r₂ — a —bi, to y = e^ax{C_x sinóx + C₂ cosóx).

8.Rozwiązać: a)y"-4/+3y -e ^x sinx b)y"+2y'+y = xe ^x c) y"+3y'-4y - e

~^4x+xe~^x

d)y^M+y=c^j

e)y-2y+j =

f) y ’+3/+2y = ~~~ ~ g) /'+j - sin² x, y(o) = 0, / (0) = 0 x+l    e +1

Wykorzystać: najpierw rozwiązujemy równania jednorodne, a następnie wyznaczamy rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego metodą przewidywań lub uzmienniania stałych. Suma obu rozwiązań jest rozwiązaniem ogólnym równania niejednorodnego. Metoda przewidywań: jeżeli f{x)=W(x)e“-(p{x) sin px + g(x)cos J3x), to rozwiązanie szczególne przewidujemy w postaci y = x^k- A(x)-e^ca * (_JS(x)sin fix + C(x)cos fix), gdzie stA = stW, stB = stC = max{stP,stQ}, zaś k jest krotnością liczby a + pi jako rozwiązania równania charakterystycznego. Np. w przykładzie a f(x) = e^2x sinx czyli W(x) = 1, a = 2, p -1, P(x) = 1, Q(x)- 0. Do przykładu e tej metody zastosować się nie da. Metoda uzmienniania stałych: jeżeli rozwiązanie ogólne równania jednorodnego ma postać y - C_]y_l + C₂y₂, to rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego ma postać y — C_x (x)yj + C₂ (x)y₂, gdzie C_x (x) i C₂ (x) są

rozwiązaniem układu

(stałe w tych funkcjach pomijamy). W przykładzie e funkcja

c, (x)y₁ +C₂(x)y₂ =0

C_](x)y_l +C₂(x)y₂ =f(x)

yi=e , y₂ = xe

s \    &

/(x) = -™—. W przykładzie c rozwiązanie szczególne równania niejednorodnego jest sumą

x +1

rozwiązań szczególnych równania y”+3y'-4y = ^ i y"+3y’-4y = xe

9. Rozwiązać: a) y'+xy - xy³ b) y'-2jxy = 2x² Jy c) xy'-4y = x² Jy d) y'+y = xy~⁶ e) y'—r-—~—^ = —,

2(x -lj 2y

y(o)=i

Wykorzystać: są to tzw. równania Bemoulliego czyli równania postaci y'+p(x)y - q(x)yⁿ, gdzie ne R\ {0,l}. Podstawienie u - y^ln sprowadza je do równania liniowego. Np. w przykładzie e n = -1 czyli robimy podstawienie u = y^l= y².

10. Rozwiązać: a)(ye~^x +e^x)cbc-e~^xdy = 0 b)e^ydx-{2y-xe^y)dy = 0 ć)2xydx + (x² + y²)dy = 0

f f 2

d)2xydx + (x² — y)dy = 0 e) 2— — dx + ~¥-dy = 0 f)(tgx — sinxsiny)tćc + cosxcosydy = 0

V    J x

g)(5x + 4y)dx + (4x- 8y³) = 0 h)sinycbc + xcosydy = 0

Wykorzystać: jeżeli P_y =Q_X, to równanie Pdx + Qdy ~ 0 nazywamy zupełnym. Wówczas wyrażenie Pcbc + Qdy - 0 jest różniczką zupełną pewnej funkcji F, co oznacza, że F_x - P, F = Q. Rozwiązanie równania zupełnego jest wtedy postaci F(x,y) = C, gdzie C jest dowolną stałą (liczbą rzeczywistą). Np. dla równania (x + y)dx + xdy = 0, p(x,y) = x + y, Q(x, y) = x. P_y - Q_x -1, więc jest to równanie zupełne.

Istnieje więc funkcja F taka, że F_x = P - x + y, F_y-Q-x .7, pierwszej równości wynika, że F — J (x + y)dx czyli F = — x² + xy + A(y). Stąd F_y = x + A'(y) co oznacza, że x + A'(y) = x czyli A'(y) = 0, czyli A(y) - B.