obraz9 4

170 IV. Całki krzywoliniowe i powierzchniowe — Teoria pola i rachunku wariacyjny

Ale

n(cos a, cos 8, cos y) = _r—. w (F_, F_, F_x),

M

gdzie F(x, y, z)—(x—R)² +y^z+z² — R². Stąd

F_x~2{x-R), F_y—2y,    F,=2z,

|w|~y/4(x-R)² +4y² +4z² =V4R² =2R ,    czyli    n=n(^—^

z

Ponieważ z>0, więc—=cos y>0, tzn. wersor n jest istotnie wersorem normalnym R

strony powierzchni S.

Mamy więc

A =21|(z—y)dS=2 JJ (>/R²-(x-R)²-y²-y)x.

jimmm y _

V \%/ R²—(x—R)^z—y²J W R² — (x —R) ^=2Ril (* ~VK²-(x-J?)²-v²)

dx dy =

-y

² y²>

dx dy

D

2 r    •Jlrx-x

-fi i ('

®    -^2rx—:

2r

%/2R

x—x²—y²

)^]^dx=

=2R](yW2Kx-x²-y²)|    ** dx =

0    i - Varx-x*

*/2

'2K f 2V2rx—x²dx — 4R J yjr² —(x — r)²dx—4R { r²cos²tdt= 0 o    o    — n/2

44Rr²(t+isin2t)

*/2

-2nRr .

-*/2

255. Korzystając ze wzoru Gaussa (wzór (12)) obliczyć całkę Jj xzdydz+x²ydxdz+y²zdxdy,

dĄ

gdzie S jest zewnętrzną stroną powierzchni zamkniętej znajdującej się w P^icr*^s^f₊/ cie (tzn. x>0, y> 0. z>0) i ograniczonej paraboloidą z=x²+_ły²> wal⁰⁶®¹ i płaszczyznami układu.

(^ł) Stosowaliśmy podstawienie x*-r~r sau.