Obraz (14) 2

STUDIUM KSZTAŁCENIA PODSTAWOWEGO ANALIZA MATEMATYCZNA 1 KOLOKWIUM II, 25 stycznia 2007 r.

UWAGA. Każde zadanie należy rozwiązywać na oddzielnej kartce. Każdą kartkę należy podpisać imieniem i nazwiskiem oraz podać na niej numer zadania. Ponadto na pierwszej kartce należy podać datę, numer indeksu i sporządzić poniższą tabelkę

Zad.	1	2	3	4	Suma
L. pkt.

ZADANIA

1.    Wyznaczyć przedział, na którym funkcja

/(cc) = x²e~^x

jest jednocześnie rosnąca i wklęsła.

2.    Skorzystać z reguł de L/Hospitala i obliczyć granice

(a)	lim X—*- oo	x In x
		x^2 + ln x
(b)	lim x—y 0+	(tg x)^x.

3.    Znaleźć pole obszaru ograniczonego przez oś rzędnych Oy, prostą y = tt/4 i wykres funkcji f(x) = arctg cc.

4.    Obliczyć całki

,    [ x² -x+ 2

^(a)    J (x-    l)(x*

7r/2

(b)    / x² cos x dx .

-tt/2

STUDIUM KSZTAŁCENIA PODSTAWOWEGO ANALIZA MATEMATYCZNA 1, EGZAMIN 3, 12 LUTEGO 2007

UWAGA. Każde zadanie proszę rozwiązywać na oddzielnej kartce. Każdą kartkę podpisać imieniem i nazwiskiem oraz podać na niej numer indeksu i zadania. Ponadto na pierwszej kartce podać datę i sporządzić poniższą tabelkę

Zad.	1	2	3	4	5	6	Suma
L. pkt.

ZADANIA

1.    Obliczyć granicę ciągu liczbowego

W    5 • 2ⁿ — 2 • 5ⁿ

lim -.

n—*oo 5 • 2ⁿ + 2 • 5ⁿ

2.    Uwaga. Rozwiązujemy wersję (a) lub (b).

(a)    Funkcja f: M —+ M określona jest warunkami

X    1

f(x) =    -..........■■■- dla x > O i f(x) = —x + 2 dla x ^ 0.

^v '    VT+^-1    2

Sprawdzić, czy funkcja / jest ciągła w punkcie xq = 0. Dodatkowe punkty za sprawdzenie, czy ta funkcja ma pochodną w punkcie xq.

(b)    Zbadać, czy równanie lnx = x — 5 ma jednoznacznie określone rozwiązanie na przedziale (e, e²).

3.    Niech

g(x) = arcsin x + 2\/l — x² .

Znaleźć przedziały monotoniczności i ekstrema lokalne funkcji g. Pokazać, że jest ona funkcją wklęsłą w całej swojej dziedzinie.

4.    Stosując Twierdzenie de L'Hospitala, obliczyć granicę

sin x — x

lim -.

*-►0 x cos x — x

5.    Wyznaczyć całki

(a) J x sin(a:²) dx ,    (b) Jxarctgxdx.

o

6.    Obliczyć pole obszaru ograniczonego przez

Vx +    — ¹ 5    * = 0, y = 0.

Z. Olszak