Photo004(2)

Ekonometria Współczesna

Znajdowanie minimum funkcji kryterium 3.9:

Funkcja posiada minimum w punkcie jeśli spełnione są dwa warunki:

Warunek I

Pochodna cząstkowa funkcji \\i względem wektora ocen parametrów a jest równa zero:

= 0.

dy(»)_

3a

Warunek II

Druga pochodna cząstkowa funkcji \|/ (macierz Hessa) względem wektora parametrów a jest macierzą dodatnio określoną, czyli:

>0.

3²\|/(a)

da

Rozwinięcie warunku I

Pochodna cząstkowa funkcji v|/ względem wektora ocen parametrów a dana jest wzorem:

dv(a)_

da

= -2X^Ty + 2X^TXa .

Przyrównując wartość pochodnej funkcji \\f do zera otrzymuje się:

<Mą)__n

da

X^TXa - X^Ty = 0,

(X^TX)-^,/X^TXa = X^Ty, a = (x^Tx) ' X^Ty.

Otrzymany wektor a jest wektorem ocen parametrów strukturalnych postaci:

a,

a,

a =

L^aK J

gdzie:

a₀,a_u...,a_K    - oceny nieznanych parametrów strukturalnych, będące

rozwiązaniem KMNK.

c r\

Rozwinięcie warunku II

pruea pochodna cząstkowa funkcji \|/ względem wektora parametrów a dana jest

wzorem:

3ife) ₌ 2X^TX.

3a

Przyrównując wartość drugiej pochodnej funkcji V|/ zgodnie z warunkiem na istnienie minimum funkcji, otrzymuje się:

2X^tX > 0.    (3.10)

TT

Z warunku II na istnienie minimum funkcji wynika, że macierz X X jest dodatnio określona. Macierz jest dodatnio określona, jeżeli minory główne danej macierzy są dodatnie.

Jeżeli spełnione są warunki I i II na istnienie minimum funkcji, to rozwiązaniem funkcji kryterium \\l są elementy wektora ocen parametrów strukturalnych a,

danego wzorem:

a = (X^TX)^_lX^Ty,

(3.11)

przy założeniu, że det(x ^rx)* 0.

1

Objaśnienia do budowy wzoru na wektor ocen parametrów a = (X X)” Xy

nr

Budowa macierzy X X:

N

lx

i\

^SV₍'.

lx

i 2

Z .t X i I 12

Y.x‘

i 2

L iK

Z.V X i\ iK

I.*:

iK J

(K + l)x(/f + I)

	1 1 ••• 1		1 ar,,	*12 *** *1K
x^Tx =	*11 *21 ”* ^XN\ • • • • • • • • • • • •	X	1 ar2| • •	*22 *2 K • • •
	.*!* *2 K *** ^XNK_	(K+\)xN	J ^XN\	^XN2 *" ^XNK _

Nx(K+\)

I*

i I

I*²

i-l

^lxiK^Xn

^^acierz X ¹ X jest macierzą kwadratową i symetryczną, budowa macierzy X¹ y :

51