Picture5

12

3.    Sprawdzić, czy następujące wyrażenia są tautologiami:

a)    (j) => q) |(/ v p) => (/ v r/)J,

b)    L(/z v ry) a (— /z)J => ry,

c)    [(p v ry) => (p v (~ </))] => [(- y>) v ry],

d)    {[(/? a q) => r] a j (p v ry-) => (~ r)]} => f(p a ry) a r],

e)    [~ (p => q) a (q => p)] => [p A (~ <7)],

f)    {(P v<7) a[(~<7) vr]) =>(p v/•),

g)    [p a (q v r)] <=> [ (p a ry) v(/)A r)],

h)    \p <=> q] <=> [<P => q) A (q => p)J,

i)    [/z => r/] <=> {(~«y)=>[(~ q) =>(~p)]},

j)    \P=>(~p)] =>(~P),

k)    [(~ P) => (/] <=> L(~ (]) => PJ,

•) iiP => 9) ^A [(~P) => (~ ?)]} <=> [p <=> <?], ł) {(p v </)=>[/■ a (~ r)]} => [(^p) a (~ q)}.

4.    Czy warunek: p liczba naturalna n jest podzielna przez 3, jest warunkiem koniecznym, wystarczającym, czy też koniecznym i wystarczającym dla q, jeżeli:

a)    q: liczba /; jest podzielna przez 6,

b)    ry: liczba //jest większa od 2.

c)    ry: suma cyfr rozwinięcia dziesiętnego liczby n jest podzielna przez 3.

5.    Wypowiedzieć następujące twierdzenia posługując się sformułowaniami „warunek konieczny”, „warunek wystarczający”:

a)    Jeśli funkcja y =/(jr) jest ciągła w przedziale (a, b), to jest w tym przedziale całkowalna.

b) Jeśli /'(x) > 0 w przedziale (a, b\ to funkcja y =f(x) jest rosnąca w tym przedziale.

6.    Dane są funkcje zdaniowe o argumencie je e R: y(r)or-3x + 2>0 i q(x) <=> x² -4x < 0.

Które z poniższych zdań są prawdziwe:

a)    A [p(.v) a (/(*)],

*

b)    A [p(.x) v ryje)],

X

c) V |/)(A) A ł/( V)|,

d) V [/;(*) v t/(.v)|?

X

7. Znaleźć laką wartość v, dla której Ibrma /daniowa jest prawdziwa

a)    (x² > 5) a (,v < -2),

b)    (a> 2a) v (a > 10),

c)    (a² > 4) => (a > 2),

d)    (a² = 9) <=> (a³ = 27).

1.2. Działania na zbiorach

<//

A u B = {.v: v e A v \ « B\

dl

A n B = {.v: x e A a a • //)

<n

A\B = {a:,v e /ł a v ✓ /f|.

<// <//

/i' = A⁷)// - {a: v ( .V a v / P(A)={A,\ A, (z A),

Suma mnogościowa zbiorów Iloczyn mnogościowy zbiorów Różnica mnogościowa zbiorów

Dopełnienie zbioru A do przestrzeni X Zbiór podzbiorów zbioru A

Przykład 1.4

Wyznaczyć Pi4), jeśli A = {a, b, c}.

P(A)= {0, {a}, {b}; {c}, {aj)}, {a,c}, \b,c}, {a,b. c}}.

Podstawowe własności działań na zbiorach:

1° AuA=A,    2° A n A = A,

3° Au B = Bu A.    4° AnB = IinA,

5° Au(BuC) = (Au B)uC,    6°    An(Bn(')    (Anff)nf,

T A u (A n B) = A,    8°    An(AuB)    A,

9° Au(Bn O = (A u B) n {A u C), 10° A n (B uf) (A n B) u ( I 11° A u 0 ~ A,    12°    An0 = 0,

13° Au A' - X,    14°    A nA’ = 0,

15° (A u B)' = A' n B\    16° (A n B)' A' U Ił',