scan0001 2

Tv.\ Roile'a: Jeżeli funkcja f(x)jeit ciągła w przedziale aSxSb i jest różniczkowalne wewnątrz tego przedziału, przy czym f(a)*0, f(b)=0, to istnieje co najmniej jeden punkt wewnętrzny tego przedziału x=e taki, że pochodna w tym punkcie f (c) jest równa 0

F'{c)=0 (a<c<b)

iw. iagrange'a o wartości średniej: Jeżeli funkcja fjx)jest cięgła w przedziale aSxSb i jest różniczkowalna wewnątrz tego przedziału, to istnieje co najmniej jeden punkt x=c wewnątrz tego przedziału taki, że

Ciąg Ciągiem nazywamy dowolną funkcją a: l-)x, gdzie ISK, zaiX jest dowolnym zbiorem. Zwykle l=(l,...,k) lub l=N. Gdy zbiór I jest skończony. to ciąg również nazywamy skończonym, w przeciwnym wypadku zaś nazywa się go nieskończonym.

Granica funkcji Liczba q jest granicą funkcji f w punkcie x» wtedy i tylko wtedy, gdy:

/G>)-/(fl)    .

b — a    ^C (a<c<b)

Tw. Oarbotu: Jeżeli funkcja Jfx) jest ciągła w przedziale i f(a)not=f(b) oraz liczba g jest zawarta miedzy f(a) i f{b), to istnieje taki punkt c należący do przedziału (a,b), że/fcj = g.

Jednym z przydatnych wniosków, jaki wynika z twierdzenie Darboux, Jest wniosek następujący JażeH/M jest funkcją ciągłą w przedziale i t‘(a) cdot f{fc)<0, to istnieje taki punkt c należący dc przedziału (a,b), ii f(c) = 0.

(c

Tw. Bolzano-Weierstrassa Załóżmy, że - ^ / Tl —0 jest ograniczonym ciągiem liczb rzeczywistych (a więc dla pewnych a < b mamy że a < c, < b dla każdego n). Wówczas można wybrać rosnący ciąg

no, ^1,^21^3? .

p > o

dla każdej Raby rzeczywistej ^{w    v} istnieje liaba rzeczywista

8 > <W

indeksów / \00

\^c-rŁfc/fc=0_Ł

tak, że ciąg

jest zbieżny.

Całka nieoznaczona - jedno z podstawowych pojęć analizy matematycznej. Całka nieoznaczona to zbiór funkcji pierwotnych dla danej funkcji f(x), czyli zbiór takich funkcji F(x), że dla każdego <7/zachodzi równość F'{x)=f{x). Wszystkie funkcje pierwotne F dla danego f różnią się jedynie o stałą, stąd można je zapisać ogólnie jako

/(“)_f    ,    /'C«)

\x — a} +

2! (x — c)²+...+

dla a

Nierówność Bemoufllego >1

Tw. De L'Hospitala: Granica ilorazu dwóch funkcji dążących do zera przy x->a i mających pierwsze pochodne w pewnym sąsiedztwie punktu x=a fest równa granicy Ilorazu pochodnych tych funkcji przy x->a, jeśli granica ta istnieje:

/co , rw

km-pr =lim——

Maksima i minima noszą wspólną nazwę ekstremów funkcji. Mówimy, że funkcja y=f(x) ma w punkcie x* maksimum lokalnejminimum lokalne) jeżeli istnieje takie otoczenie punktu Xo, że dla wszystkich punktów tego otoczenia zachodzi nierówność: f(x)<f(xo) (f(x)>f(xo))

Punktem przegięcia wykresu funkcji y=f(x), gry funkcja f(x) na drugą pochodna ctągłą^razywamy taki Jej punkt, w którym styczna do krzywej, przechodzi z jednej strony krzywej na drugą.

Relacja porządku Relacja R na zbiorze Xjest relacją liniowego porządku (lub krócej: liniowym porządkiem), gdy jest zwrotna, przechodnia, antysymetryczna I spójna.

Tw. Wclcrstrasss jeśli f :[a,b’, ->?, jest funkcją ciągłą, to jej obraz jest zbiorem ograniczonym. Ponadto funkcja /osiąga swoje kresy, tzn. dla pewnych liczb c,dc(a,bl mamy

Vx € [a, 6] f(d) < f(x) < }(c)

Wzór Taylora: Jeżeli funkcja(x) ma n-tą pochodną f"*(x) w pewnym przedziale domkniętym zawierającym punkt a, wówczas dla każdego x tego przedziału ma miejsce następujący wzór Taylora:

f(x)=f(a}+ 1-n! (x-a)ⁿ

Tw. Cauchy'ego Jeżeli dane funkcje f i g są: ciągłe w przedziale domkniętymja.bj, różnłczkowalne w przedziale(a,b), to istnieje punkt c należący do przedziałka,b) taki, że:

g'(c) *lf(b) - f(a)] = f (c) x[g(b) - g(a)l

Pochodną funkcji y=ffx) w punkcie x nazywamy granicą, do której dąży stosunek przyrostu funkcji Ay do odpowiedniego przyrostu zmiennej niezależnej Ax, gdy przyrost zmiennej niezależnej dąży do zera, czyli granicę

Ay f0c + te)~fGO

hm — hm-

AJ£ >0AXs:.as 0 Ax

Macierz- układ zapisanych w postaci prostokątnej tablicy danych nazywanych elementami bądź współczynnikami będących elementami ustalonego zbioru, zwykle liczbowego.

(1 + x)^a > 1 r OiX