SCN
12

Definicja widma macierzy

Zbiór {X|,A.2.....X_n} wszystkich wartości własnych macierzy

A nazywamy widmem lub spektrum macierzy A.

Wniosek

Widmem macierzy kwadratowej macierzy A jest zbiór wszystkich pierwiastków charakterystycznych tej macierzy.

7.1. Własności wektorów własnych i wartości własnych

n    n

1.    X| + A.2 +...+ X„ = y. A,• = y, a_tj = an + a22+ ... + a_n„ = tr A

«=1    j=i

suma elementów widma jest równa śladowi macierzy kwadratowej (gdzie ślad macierzy jest równy sumie elementów diagonalnych macierzy A).

n

2.    X| • X2 X„ = nx_{j =} det A w szczególności:

a) jeżeli pewna wartość własna macierzy A jest równa zero, to macierz ta jest osobliwa, macierz A jest nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie jej wartości własne są niezerowe.

3.    Wartości własne dowolnej macierzy A i macierzy transponowanej A^T są identyczne, czyli transponowanie nie zmienia widma macierzy oraz wektorów własnych macierzy.

4.    Wartości własne macierzy diagonalnej są równe elementom diagonalnym.

5.    Wartości własne macierzy trójkątnych (czyli takich macierzy kwadratowych, które pod diagonalą, lub nad diagonalą mają wyłącznic elementy zerowej są równe elementom diagonalnym tej macierzy.

6.    Wartości własne macierzy ortogonalnych są równe elementom diagonalnym tej macierzy.

7.    Wszystkie wartości własne macierzy symetrycznej o elementach rzeczywistych są liczbami rzeczywistymi (ogólnie: wartości własne mogą być liczbami zespolonymi).

8.    Wektory własne odpowiadające różnym wartościom własnym są liniowo niezależne.

9.    Wektory własne odpowiadające różnym wartością własnym macierzy symetrycznych są ortogonalne.

10.    Twierdzenie Cayleya - Hamiltona.

Każda macierz kwadratowa A spełnia swoje równanie charakterystyczne, czyli:

J(A) = Aⁿ-p,Aⁿ-^I + p₂Aⁿ-² - ... + (~l)ⁿ p„E = 0

Uwaga

W równaniu charakterystycznym zmienną jest liczba X, a w powyższym równaniu zamiast liczby do równania charakterystycznego podstawiono macierz A.

101