teoria3 2

Macierz zerowa - wszystkie elementy są równe zero Macierz trójkątna dolna - zera powyżej przekątnej Macierz trójkątna górna - zera poniżej przekątnej Macierz kwadratowa stopnia r - macierz wymiaru r.

Macierz diagonalna - macierz kwadratowa, której wszystkie wyrazy nie tworzące przekątnej głównej są równe zero. Macierz jednostkowa - macierz diagonalna, której wszystkie wyraz na przekątnej głównej są równe 1.

Macierze A=[a,j] _m.„ i B=[bij)_k.i są równe <=> m=k, n=l, V" ie{l...m} aą=b*.Vj e{l...n} a^= by

Dodawanie i odejmowanie macierzy - A=[ay] _m<„ B=[bij] „.„wtedy C = A+B, C=[Cjj] _m.„ Cy= &,,+ bij Mnożenie macierzy przez liczbę - A=[aij] _m.„ a e R, D = a-A: D[d,j] _m,„ dij-a- ay

n

Mnożenie macierzy- A=[aij] _m,„ B=[bij]„._p wtedy C = A B, C=[cij] _m._p : Cij=£ a_ik- b_kj

_k-i

Własności dodawania i mnożenia przez	Własności mnożenia macierzy (o ile macierze	Własności macierzy transponowanej:
skalar macierzy l.A+B = B+A	są odpowiednich rozmiarów):	1. (A^T)^T= A
2. A+0 = A	1. (A-B)-C = A (B-C)	2. (A+B)^r=A^T+B^T
3. (A+B)<C = A+(BtC)	2. A-(B+C) = A-B+A-C	3. (a-A)^T=a-A^T
4. A + A-(-l) = 0	3. I A=A	4. (A B)^t=B^t-A^t
5. a-(A+B)= a-A+ a-B	4. A-I=A

Dopełnienie algebraiczne elementu a,ji Dij= (-1)'⁴'- det Aij Dana jest macierz A kwadratowa stopnia n.

-    n=l detA= an n=2 detA = an • a^-t- a_2t • a_!2 n=3 detA= an • a₂₂ • a₃₃ + a_i2- a₂₃- a₃i + a_i3- a_2i • a₃₂ - (a_3l • a₂₂ • a_t3+ a₃₂- a₂₃- an + a₃₃- a₂r a_i2)

-    wyznacznik macierzy trójkątnej: detA = a_M ■ a₂₂ •... a„„

-    Twierdzenie Laplace'a:    „    „

det A = £ aij • Dij det A = £ a* • D_u

j-i    i-i

Własności wyznaczników (dla kolumn lub wierszy):

1.    det [Ki...0...]=0

2.    det [K,... K,... K,... K„] = - det [K,... Kj... K,... K„]

3.    det [K, ...C -Ki... K„] = C det [K, ...K,... K„]

4.    det [K, ... Ki.j... K_n] = det [K, ... Ki... K„] + det [K,... K,... K„]

5.    det [K,... K,... Kj... K„] = det [K,... K, +c -Kj... K„]

6.    det (A B) = det A- det B

Macierz A nazywamy odwracalną <=> 3 B„.„: A B= B A=I„ Macierz A nazywamy osobliwą, gdy det A=0.

Twierdzenie o macierzy odwrotnej: Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Macierz A jest odwracalna <=> gdy wyznacznik jest różny od

0.

A '= l/(det A) • [Dij]^T

Wyznaczanie macierzy odwrotnej bez wyznacznika: A - macierz kwadratowa stopnia n, nieosobliwa

[A | I„] - operacje na wierszach —» [ [„ | A^-1]

Operacje na wierszach:

1.    Przestawianie pomiędzy sobą dwóch wierszy    Wi«-> Wj

2.    Mnożenie wiersza przez stałą niezerową    a w*

3.    Do dowolnego wiersza dodanie sumy odpowiadających im elementów innych wierszy.    Wj + a Wj

Własności macierzy odwrotnej:

1.    det A''= (det A)'¹

2. (AB)-'=B'A-'

3. (A-')-' = A

Minorem stopnia r nazywamy wyznacznik podmacierzy kwadratowej stopnia r (wyjętej z danej macierzy A).

Rząd macierzy A jest równy r <=> istnieje przynajmniej jeden niezerowy minor stopnia r, a wszystkie minory wyższych stopni są równe 0. Operacje elementarne na wierszach macierzy nie zmieniające jej rzędu:

1.    Mnożenie ustalonego wiersza przez skalar (różny od 0)

2.    Dodanie do ustalonego wiersza innego wiersza pomnożonego przez skalar

3.    Przestawienie dwóch wierszy

4.    Skreślenie wiersza złożonego z samych 0 lub proporcjonalnego z innym.

Macierzą schodkową nazywamy macierz, w której pierwsze niezerowe elementy (schodki) w kolejnych niezerowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnących numerach. Rząd macierzy schodkowej jest równy liczbie schodków.

| ^an^xi ^{+ a}i₂^x2 ⁺— ^+a.„\⁼ b|

n

1 ^am,*, ⁺ ^ ⁺ ••• ^+a™A ^=b„

Układ (*) nazywamy układem jednorodnym <=> V ie {l...m} bj=0. Układ (*) jest układem Crammera <=> m=n oraz det A jest różny od 0. Układ Crammera ma dokładnie I rozwiązanie dane wzorem:    _{det A}

^Xi= detA

gdzie Ai - macierz powstała z macierzy A przez zamianę i-tej kolumny kolumną wyrazów wolnych.

Jednorodny układ Crammera ma zawsze rozwiązanie równe 0.

Twierdzenia (Kromeckera-Capellego):

Układ m równań liniowych o n niewiadomych ma rozwiązanie <=> rz A = rz U (gdzie A jest macierzą współczynników, U jest macierzą uzupełnioną kolumną wyrazów wolnych)

Wniosek:

1.    rzAjest różny od rz U => układ sprzeczny

2.    rz A= rz U = r => układ posiada rozwiązania zależne od n-r parametrów (n - liczba niewiadomych).