Untitled Scanned 32

96

znaczy tyle samo, co zdanie następujące:

dla każdego x, jeżeli x jest Polakiem, lo istnieje takie y, że y jest Francuzem i x zna y.

Jeśli umówimy się pisać /^Jł, (x) zamist „x jest Polakiem", Pj(x) zamiast .,x jest Francuzem” i wreszcie P]{x, y) zamist „x zna >■", to zdaniu powyższemu możemy nadać postać symboliczną:

.x    y

(Wskaźniki górne w symbolach P\, P\, Pj wskazują, że chodzi o predykat jednoczłonowy względnie dwuczłonowy; wskaźniki dolne służą jedynie do odróżniania - o ile zachodzi potrzeba - symboli reprezentujących różne predykaty).

Przejdziemy obecnie do opisania kilku przykładowo wybranych aksjo-matycznych teorii matematycznych. Niezależnie od tego, że znajomość niektórych z tych teorii jest konieczna dla każdego, kto chce rozumieć problematykę podstaw matematyki, posłużą one tutaj jako dobry punkt wyjścia do wyjaśnienia niektórych zadań logiki i w szczególności zadań rachunku predykatów.

§ 2. AKSJOMATYCZNA TEORIA MNOGOŚCI ERN ESTA ZER M ELA

Podstawy systematycznej teorii mnogości jako odrębnej dyscypliny matematycznej stworzył G. Cantor w pracach z lat 1879 1897. Teoria Cantora nic miała jednak charakteru ściśle aksjomatyczncgo. Opierała się ona na rozmaitych intuicyjnych założeniach, przyjmowanych w miarę potrzeby, ale nigdy nic formułowanych w sposób całkowicie wyraźny. Taki sposób uprawiania teorii mnogości szybko okazał się niewystarczający. Już bowiem w ostatnich latach ubiegłego stulecia poczęto wykrywać w teorii Cantora różne sprzeczności, czyli tzw. antynomie. Okoliczności te zmusiły matematyków do zajęcia się zagadnieniem aksjomatyzacji teorii mnogości. Chodziło w tym zagadnieniu o oparcie teorii mnogości na jakichś wyraźnie sformułowanych założeniach (aksjomatach), dobranych jednak w taki sposób, aby wszystkie wartościowe matematycznie wyniki teorii mnogości dały się z nich wyprowadzić, ale równocześnie, aby żadna antynomia (przynajmniej spośród tych, które już wówczas znano) nie dała się na ich gruncie zrekonstruować. Pierwsze rozwiązania tak postawionego zagadnienia przedstawili w roku 1908, równocześnie i niezależnie od siebie, B. Russell i E. Zcrmelo. Rozwiązania te były całkowicie odmienne. Oba też posiadały pewne wady teoretyczne, które