0017

18

Liczby rzeczywiste

Zbiór ograniczony z góry (z dołu) może być zarówno ograniczony, jak nieograniczony z dołu (z góry). Dla przykładu zbiór ułamków właściwych jest ograniczony i z góry i z dołu, a zbiór liczb naturalnych jest ograniczony z dołu, ale nieograniczony z góry.

Jeżeli zbiór jest nieograniczony z góry (z dołu), to za jego kraniec górny (dolny) przyjmuje się liczbę niewłaściwą +oo(-oo). Zakładamy przy tym o tych liczbach niewłaściwych lub nieskończonych, że

— co < + oo oraz — co <a< + co,

dla dowolnej liczby rzeczywistej (skończonej) a.

Symbole +oo i — oo czytamy plus nieskończoność i minus nieskończoność.

Jeżeli zbiór jest ograniczony z góry, tj. ma skończony kraniec górny M, to ma on także nieskończony zbiór krańców górnych (ponieważ np. dowolna liczba większa niż M jest także krańcem górnym). Ze wszystkich krańców górnych na szczególną uwagę zasługuje najmniejszy kraniec górny, który będziemy nazywali kresem górnym. Podobnie, jeżeli zbiór jest ograniczony z dołu, to największy z wszystkich możliwych krańców dolnych będziemy nazywali kresem dolnym. Dla zbioru wszystkich ułamków właściwych kresami są oczywiście O i 1.

Powstaje pytanie, czy każdy ograniczony z góry (z dołu) zbiór ma kres górny (dolny)? Rzeczywiście, ponieważ krańców górnych (dolnych) jest w tym przypadku nieskończenie wiele, a wśród zbioru nieskończonego nie zawsze jest liczba najmniejsza lub największa (¹), to samo istnienie takiej najmniejszej (największej) liczby wśród wszystkich krańców górnych (dolnych) rozważanego zbioru wymaga dowodu.

Twierdzenie. Jeżeli zbiór SC={*} jest ograniczony z góry (z dołu), to ma kres górny (dolny).

Dowód. Przeprowadzimy rozumowanie dla kresu górnego. Rozważymy dwa przypadki:

1° Wśród wszystkich liczb x zbioru SC jest największa x. Wówczas wszystkie liczby zbioru spełniają nierówność x^x, tj. x jest krańcem górnym dla SC. Z drugiej strony 3ć należy do SC, a więc dla dowolnego krańca górnego M spieniona jest nierówność 3t<Af. Wnioskujemy Stąd, że x jest kresem górnym zbioru SC.

2° Wśród wszystkich liczb x zbioru SC nie ma największej. Dokonajmy przekroju w zbiorze wszystkich liczb rzeczywistych w następujący sposób. Do górnej klasy A' zaliczmy wszystkie krańce górne a! zbioru SC, a do dolnej klasy A wszystkie pozostałe liczby rzeczywiste a. Przy tym podziale wszystkie liczby x zbioru SC znajdują się w klasie A, bo — z założenia — żadna z nich nie jest największa. Tak więc obie klasy A, A' są niepuste. Podział ten jest rzeczywiście przekrojem, bowiem wszystkie liczby rzeczywiste zostały rozdzielone między klasy i każda liczba z klasy A' jest większa od każdej liczby z klasy A. Na mocy podstawowego twierdzenia Dedekinda (ustęp 10) powinna istnieć liczba rzeczywista /? wyznaczona przekrojem. Ponieważ wszystkie liczby x należą do klasy A, więc nie przewyższają tej „granicznej” liczby fi, tj. fi jest krańcem górnym dla x, a więc

O Nie ma ich na przykład wśród wszystkich ułamków właściwych.