0035

36

I. Teoria granic

Fakt ten zapisujemy

lim x„ = a

(lim jest skrótem łacińskiego słowa limes, oznaczającego granicę). Mówimy także, że ciąg dąży do a i piszemy

^xn~*^a ■

Definicję granicy można krótko sformułować tak:

Liczba a jest granicą ciągu {*„}, jeżeli wszystkie jego wyrazy różnią się od a dowolnie mało, począwszy od pewnego wskaźnika.

Nierówność (3) przy dowolnym e jest dokładnym zapisem zdania, że x_n różni się od a dowolnie mało, a numer N wskazuje właśnie wskaźnik, od którego począwszy warunek ten jest spełniony.

Ważna jest uwaga, że na ogół wskaźnik N nie może być ustalony na zawsze; zależy on od wyboru liczby e. Aby to podkreślić, pisze się niekiedy zamiast N symbol N_e. Przy zmniejszaniu liczby e odpowiedni wskaźnik N_e na ogół się zwiększa; im mniejsza ma być różnica x_n — a, tym dalsze wartości x„ (co do wskaźnika) należy rozważać.

Wyjątkiem jest przypadek, gdy wszystkie wartości ciągu {*„} są równe stałej liczbie a. Oczywiste jest, że wówczas a=lim;c„ oraz że tym razem nierówność (3) jest spełniona dla dowolnego e>0 jednocześnie dla wszystkich wartości n.

Jak wiemy z [17], nierówność (3) jest równoważna następującym nierównościom:

— e < x„ — a < e ,

czyli

(4)    a — £<x„<a + e ;

nierównościami tymi będziemy się często posługiwać.

Jeżeli przedstawić liczby a, a±e i wartości x„ ciągu punktami na osi liczbowej [21] (rys. 2), to otrzymamy przejrzysty opis geometryczny granicy ciągu. Przy dowolnie małym

a-e    a+c

-o-1—^2—^]_o_c_.

*2 L    J    X₃ X,

Rys. 2

odcinku (o długości 2e) o środku w punkcie a, wszystkie punkty x_n poczynając od pewnego n muszą znaleźć się wewnątrz tego odcinka (czyli poza odcinkiem może pozostać tylko skończona ilość tych punktów). Punkt przedstawiający granicę a, jest jakby ośrodkiem zagęszczenia punktów przedstawiających wartości wyrazów ciągu.

24. Ciągi zbieżne do zera. Bardzo ważny jest szczególny przypadek, gdy ciąg zmierza

do zera: x_n~>0.

Jeżeli w definicji granicy ciągu [23] przyjąć a=0, to nierówność (3) przyjmie postać

|x_n-0j = |j:_B|<£ (dla n>N_c).