0142

143

§ 5. Własności funkcji ciągłych

Dowód I przeprowadzimy metodą Bolzano [41] — przez kolejne połowienie przedziału. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że f(a)<0, a /(b) > 0. Podzielmy przedział <a, b} na połowy punktem \{a+b). Może się zdarzyć, że funkcja f(x) równa się zeru w tym punkcie, i wówczas twierdzenie jest udowodnione: można przyjąć c=ł(a+b). Niech teraz f(ł(a+b))^0; wówczas na końcach jednego z przedziałów <«, \(a+b)y, (%(a+b), by funkcja przyjmuje wartości różnych znaków (i przy tym ujemną wartość na lewym końcu, a dodatnią na prawym). Oznaczając ten przedział przez <a_t, b{y, mamy

0, f(bj> 0.

Podzielmy na połowy przedział <0!, bfj i znowu pomińmy ten przypadek, w którym f{x) równa się zeru w środku ł(a_t +b_t) tego przedziału, bo wówczas twierdzenie jest udowodnione. Oznaczmy przez (a₂, b₂y tę z połówek przedziału, dla której

/(«₂)< 0,    f(b₂)> 0.

Kontynuujmy ten proces budowy przedziałów. Przy tym albo po skończonej ilości krokótv napotykamy jako punkt podziału na punkt, w którym funkcja równa się zeru — i kończymy dowód twierdzenia, albo otrzymamy nieskończony ciąg przedziałów zstępujących. Zatrzymajmy się na tym ostatnim przypadku. Wówczas dla n-tego przedziału <a„, b_ny (n = 1, 2, 3, ...) mamy (1)    /(«■)«>, f{b_n)> 0,

przy czym długość jego wynosi oczywiście

Skonstruowany ciąg przedziałów spełnia warunki lematu o przedziałach zstępujących [38], bo na mocy (2), lim(ń„—a„)=0; dlatego istnieje punkt c z przedziału <a, by, dla którego

lim a„=\imb„ = c.

Pokażemy, że właśnie ten punkt jest punktem żądanym.

Przechodząc do granicy w nierównościach (1), i wykorzystując przy tym ciągłość funkcji (w szczególności, w punkcie x=c), otrzymujemy, że jednocześnie

/(c)=lim/(a,)<0 i /(c)=lim/(b„)^0,

czyli rzeczywiście/(c)=0. Twierdzenie zostało udowodnione.

Podamy poniżej drugi dowód twierdzenia Cauchy’ego, oparty na innym pomyśle. Zaczniemy od następującego oczywistego lematu:

Lemat. Jeżeli funkcja f(x) jest ciągła w punkcie x=x₀ i wartość f{x₀) jest różna od zera, to dla wszystkich argumentów x dostatecznie bliskich x₀ funkcja f{x) zachowuje taki sam znak, jaki ma w punkcie x₀.