0156

157

§ 5. Własności funkcji ciągłych

Ponieważ    więc na mocy (7) jest |x—x₀| <\S_ia, skąd |jc—<S_io, tj. punkt x

(a tym bardziej i punkt x₀) należy do pierwotnie obranego otoczenia

(x_io-S_to,x_io + 5_io),

z którego otrzymaliśmy otoczenie a_io. W takim przypadku, na mocy własności wszystkich, pierwotnie wziętych otoczeń, mamy

j/(x)-/(x₀)|<£.

Ponieważ <5 było obrane niezależnie od położenia punktu x₀, jednostajna ciągłość funkcji / (x) została udowodniona.

Jak widać z przytoczonych rozumowań, lemat Borela oddaje duże usługi w przypadkach, gdy własność lokalną, związaną z otoczeniem rozważanego punktu, należy rozszerzyć na cały rozpatrywany przedział.