0652

654

XIV. Całki zależne od parametru

więc na mocy 142, 3° z wypukłości logarytmicznej funkcji f(x) wynika jej zwykła wypukłość, teza odwrotna jest na ogół fałszywa. W ten sposób funkcje wypukłe logarytmicznie są częścią klasy funkcji wypukłych.

Opierając się na twierdzeniu 2 z ustępu 143, można podać warunek wypukłości logarytmicznej:

Niech funkcja dodatnia f(xj ciągła wraz ze swą pierwszą pochodną f'(x) w przedziale 9C ma wewnątrz przedziału skończoną drugą pochodną f"(x), wtedy na to, aby funkcja f(x) była logarytmicznie wypukła w SC, potrzeba i wystarcza, aby wewnątrz % było

/(.r)/"(.r)-[/W>0.

Dowód polega na zastosowaniu wspomnianego twierdzenia do funkcji In f(x).

Wróćmy teraz do funkcji r (jr). Pierwsza i druga pochodna tej funkcji wyrażają się wzorami (8) i (8*). Zgodnie z nierównością Buniakowskiego [321, (13')l 483, 7)] jest

/ [<p (*)]²rfjf J [ę W]² dx— •{ J ę (x) y> (x) dx}² > 0 .

Jeżeli przyjmiemy tu

a = 0,    ó=- oo; tp (x) = ^x°~'e~*, tp (x) = ^x“~'e~^x In x,

to otrzymamy

r(a) r»-[rv)]² > o.

Stąd, zgodnie z dopiero co podanym warunkiem, funkcja r (a) jest w przedziale (0, <*>) wypukła logarytmicznie. Ta oto własność łącznie z równaniem (1) określa funkcję F z dokładnością do czynnika stałego. Inaczej mówiąc:

Jeśli 1) 0 (a) spełnia w przedziale (0, oo) równanie (I)

0 («+l) = a0 (a),

2) 0 (a) jest wypukła logarytmicznie i 3) 0 (1) = 1, to 0 (a) = r (a).

Przypuśćmy, że funkcja 0 (a) spełnia wszystkie te trzy warunki.

Stosując wielokrotnie równanie (I) dochodzimy do ogólnej równości

(21)    0 (a+n) = (o+n— 1) (a+n—2) ... (a+1) a0 (a) ,

a jest dowolną liczbą naturalną. Stąd przyjmując a — 1 [por. 3)] i pisząc n— 1 zamiast n otrzymujemy

(22)    0(n) = (a-l)!.

Zauważmy, że wystarczy wykazać tożsamość 0 (a) i r (a) w przedziale (0, 1 > bo na mocy (I) obie te funkcje będą wówczas identyczne wszędzie. Niech więc 0<a<.l.

Przypomnijmy sobie nierówność (6) z ustępu 143

f(x,)-f(x) ^ f(xj)-fU) x,—x    Xi~X

prawdziwą dla funkcji wypukłej f(x), jeśli tylko x,<x₂ (*). Stosując dwukrotnie tę nierówność do funkcji In 0 (a), wypukłej na mocy 2), dla dowolnego n>2 otrzymujemy

In 0(~ 1+a)—ln 0(n)    ln 0 (a+n)~In 0 (n) ^ In 0 (1 + a)—ln 0 (n)

(—l+a)-a    (a+n)—n    (1+a)—a

(’) Co prawda, w miejscu, na które się powołujemy, zakładaliśmy, że x_l<x<x₂, łatwo jednak stwierdzić, że ta nierówność jest prawdziwa dla każdej wartości x, byle tylko była ona różna od    i od x₂.