0562

564

XIV. Całki zależne od parametru

Konieczność. Jeżeli /(x, y) dąży jednostajnie do <p (x), to dla dowolnego e > 0 możemy dobrać takie S, aby spełniona była zależność (3). Dalej, dla każdego ciągu y„ -» y₀ istnieje taki wskaźnik N, że \y„—y₀\ < ń, gdy n > N. Tym samym dla tych wartości n spełniona jest na mocy (3) nierówność

\f{x, y„)-y(x)| < e

i to od razu dla wszystkich x. Wobec tego ciąg {/(*, y„)} jest jednostajnie zbieżny.

Dostateczność. Załóżmy teraz, że każdy ciąg {/(*, y„)} dąży do q>{x) jednostajnie.

Aby wykazać, że funkcja /(x, y) dąży do <p (x) jednostajnie, przypuśćmy, że tak nie jest. Wówczas przy pewnym e > 0 dla każdego 5 = 5' > 0 znajdzie się taka wartość y = y’ z y, że chociaż \y’ — v₀| < <5', to jednak co najmniej dla jednej wartości x = x‘ z OC spełniona będzie nierówność \f (*', y')—<p (x')l > e.

Weźmy teraz ciąg liczb dodatnich {<5„} dążący do zera. Zgodnie z tym co powiedzieliśmy, każdemu S„ można przyporządkować dwie liczby y„ i x„ takie, że

(6)    \y«-y₀\<Sn i \f(x_n,y„)-<p(x_n)\^e.

Oczywiście y„ -*■ y₀, bo ó„ -*• 0, i z nierówności (6) wynika, że ciąg {/(*, y„)} nie dąży jednostajnie do q> (x). Doszliśmy więc do sprzeczności z założeniem.

Niech teraz zbiór 9C będzie skończonym przedziałem <a, by. Wiemy już [436], że jeśli ciąg {/„(*)} funkcji ciągłych (lub całkowalnych w zwykłym sensie) dąży jednostajnie do funkcji granicznej, to funkcja graniczna też jest ciągła (całkowalna). Z 2° widać od razu, że przenosi się to na przypadek ogólny:

3° Jeśli funkcja f{x,y) dla dowolnego jest ciągła {całkowalna) względem x w przedziale 9C = <a, by i dla y -* y₀ dąży jednostajnie do funkcji granicznej <p (x), to funkcja <p (x) jest też ciągła {całkowalna).

Udowodnimy jeszcze twierdzenie, z którego będziemy później korzystali, a które jest uogólnieniem twierdzenia Diniego [431]. Przyjmiemy przy tym, że stale jest y < y₀.

4° Załóżmy, że funkcja f{x,y) jest przy dowolnym ye^ ciągła {całkowalna) względem x w przedziale 9C = <a, by i przy wzrastaniu y dąży, rosnąc monotonicznie, do ciągłej funkcji granicznej q> (*)• Wówczas zbieżność ta musi być jednostajna względem x w przedziale 9C.

Wybierzmy w *3/ ciąg {y„} wartości y, rosnący monotonicznie i dążący do y₀. Rozpatrzmy odpowiedni ciąg funkcji {f{x, y„)}> także oczywiście rosnący monotonicznie wraz z n. Ponieważ szereg

f{x, yi)+ ^ [/(*, yJ-f{x, y„-i)] = q> 00

it=2

ma wszystkie wyrazy dodatnie (z wyjątkiem co najwyżej pierwszego), więc z twierdzenia Diniego wynika, że szereg ten jest zbieżny jednostajnie względem x w przedziale ^<X. Dla danego e > 0 można zatem znaleźć taki wskaźnik n₀, że nierówność

\<p(x)-f{x, yjl < e