0568

570

XIV. Całki zależne od parametru

Łatwo jest sprawdzić te wyniki obliczając bezpośrednio całki

i

/iW — f arctg— dx = arc tg— + 4- y In -~~T »

J y    y 2    1 +y²

O

1

7₂(y) = ( ln (jc* +y³) dx = ln (1+y³)—2+2y arc tg —

i    ^y

i następnie różniczkując je względem y.

Dla y = 0 założenia twierdzenia 3 nie są spełnione; zbadajmy zatem co można powiedzieć o pochodnych funkcji 7,(y) i I₂{y) w tym punkcie. Jeżeli w pierwszej całce przy y — 0 i x>0 przypiszemy funkcji podcałkowej — dla zachowania ciągłości — wartość y n, to otrzymamy 7,(0) = y 7t. Funkcja 7,(y) będzie tym samym ciągła względem y przy y = 0. Jednak

7,0')—7,(0) _ 1 _|n _^!__arc tg y , __Q0

y    2    1+y² y

dla y ->■ 0, a więc pochodna skończona przy y = 0 nie istnieje. Dla funkcji I₂ (y) jest 7j(0) = — 2, My)~H2? = !n U-f-yO- -|- 2 arc tg — ->■ 7r

y    y    y

przy y -► 0. Zatem 7,(0) = ir, a tymczasem pochodna funkcji podcałkowej względem y jest równa zeru dla y = 0, a więc i całka z niej też jest równa zeru. Reguły Leibniza nie można stosować.

508< Całkowanie pod znakiem caiki. Zajmiemy się teraz zagadnieniem istnienia całki funkcji (1) w przedziale (c, d}.

Będzie nas specjalnie interesował przypadek, gdy całka ta może być przedstawiona wzorem

d    d b    b d

Jl(y)dy = f { f f{x,y)dx)dy = / { j f(x, y) dy) dx ,

c    ca    a c

który — bez nawiasów — pisze się zwykle tak:

ab    ba

(13)    / dy J f(x, y)dx = / dx f f(x, y) dy,

ca    a c

Gdy wzór ten jest prawdziwy, wówczas mówimy, że funkcję (1) można całkować względem parametru y pod znakiem całki (względem zmiennej x).

Następujące twierdzenie daje najprostsze warunki wystarczające na to, aby całki iterowane (13) były równe.

Twierdzenie 4. Jeżeli funkcja f(x,y) jest ciągła względem obu zmiennych w prostokącie <a, b; c, d}, to prawdziwa jest równość (13).

Udowodnimy ogólniejszą równość

ir    i>    if

(13a)

gdzie c < if < d.

/ dy f f(x, y) dx = / dx f f(x, y) dy,

ca    a c