0610

612

XIV. Całki zależne od parametru

Łatwo jest również otrzymać uogólnienia twierdzeń 2* i 3* z ustępu SIO dotyczące przedziału skończonego <a, b}. Trzeba tylko, podobnie jak przy przejściu od twierdzenia 1 do twierdzenia 1', zastąpić punkt x = oo przez punkt x ■» b nie wprowadzając żadnych istotnych zmian w sformułowaniach i rozumowaniach.

Uwaga. W przedstawionej tu teorii nie korzystamy ze związku między całkami a szeregami, starając się uwydatnić wszędzie to pojęcie, które jest w rzeczywistości podstawą tej teorii — pojęcie zbieżności jednostajnej do funkcji granicznej. W wielu przypadkach jednak odwołanie się do rozwiniętej już teorii szeregów mogłoby formalnie uprościć rozumowania. Pokażemy to na przykładzie dowodu twierdzenia 3, w którym uproszczenie to będzie bardzo znaczne.

Zastąpmy całkę I(y) przez szereg [por. 477]

l(y) = £ / f(x,y)dx (A. -* oo).

1 A—l

Wyrazy tego szeregu

a*

«,(y) = / /(•*, y) dx

Am-X

są na podstawie twierdzeń 2 i 3 z ustępów 506 i 507 funkcjami ciągłymi i mają ciągle pochodne

u'.(y) = / Mx,y)dx.

Am-l

Co więcej, ze zbieżności jednostajnej całki (11) wynika, że szereg utworzony z tych pochodnych jest zbieżny jednostajnie względem y w przedziale <c, </> [514]. Wobec tego na mocy twierdzenia o różniczkowaniu szeregu wyraz za wyrazem [435] istnieje pochodna

/'oo = 2 «.(>) = S / w*’ y>^dx=S /»(•*■> y>^dx

1    1 A,-1    «

i twierdzenie jest udowodnione.

W ten sam sposób można udowodnić twierdzenia 1 i 2 z ustępów 518 i 520, a także twierdzenie 4 z następnego ustępu, powołując się przy tym na odpowiednie twierdzenia z teorii szeregów funkcyjnych. Pozostawiamy to czytelnikowi.

521. Całkowanie całki względem parametru. Udowodnimy najpierw następujące twierdzenie:

Twierdzenie 4. Przy założeniach twierdzenia 2 prawdziwy jest wzór

d    d oo    oo d

(15)    // OO dy = j dyj f(x, y)dx = f dx Jf(x, y) dy .

c    ca    a c

Istotnie, z twierdzenia 4 z ustępu 508 wynika, że dla dowolnej liczby skończonej A ^ a zachodzi równość

d A    Ad

} dyj /(x, y)dy = J dx [f(x, y) dy.

ca    a c

Funkcja (3) jest z założenia ciągła względem y i przy A-*co dąży do swej granicy (1) jednostajnie względem y. Wobec tego na podstawie twierdzenia 1 z ustępu 506 w całce z le-