0640

642

XIV. Całki zależne od parametru

528. Całkowanie pod znakiem całki. Prawdziwe jest tutaj twierdzenie uogólniające w znacznym stopniu twierdzenie 4 z ustępu 508.

Twierdzenie 4. Załóżmy, że funkcja f(x,y), określona w prostokącie <a, 6; c, </> jest całkowalna względem x w przedziale <«, ó> przy ustalonym y oraz względem y w przedziale <c, d) (przy ustalonym x). Jeśli ponadto funkcja f(x, y) jest ograniczona

I f(x, y) I < L    (L = const)

w całym prostokącie <a, b; c, d), to istnieją obie całki iterowane

f dyf /(x, y) dx,    fdxf /(x, y) dy

e a    mc

i są równe.

Dowód. Oznaczamy

l(y) = / f(x, y) dx,    K (x) = j'f(x, y) dy.

m    c

Weźmy teraz dowolny ciąg rozkładów przedziału <c, </> na części o długościach

4". 4?.....4»    (n=l,2,3, ...),

spełniających jedynie ten warunek, że max {ó{”} dąży do zera wraz ze wzrastaniem n. Wybierzmy w każ-

i

dym i-tym przedziale (i = 1,2.....A.) n-tego rozkładu dowolną wartość y = yj^a> i zbudujmy sumę całko

wą dla funkcji I(y):

= Ż¹ OfO ^ÓT = S {//(*• jf°) <**} 4*"*=/{£ /(** <0    * •

<•1    1-1    «    m l-l

Jeśli oznaczymy

i-i

to <r, możemy napisać w postaci

tt. = J /.*(*) d*.

Ponieważ istnieje oczywiście granica (6)    lim/.*(*) = J/(*, y)dy = K (x)

N-»00    _e

i ponadto dla wszystkich wartości x i n jest

l/f(*)l <L(d-c),

zgodnie z wnioskiem z ustępu 526 istnieje granica

lim <r„.

Tak więc granica ta istnieje niezależnie od sposobu rozkładania przedziału na części (byleby tylko największa ich długość dążyła do zera) i od wyboru wartości yj”. Stąd już wynika, że we wszystkich przypadkach granica musi być ta sama, a zatem istnieje całka

t    »

Jl(y)dy — lim o,    = lim    f f*(x) dx.

_e    n—oo    ■-*»    _#