0580

582

XIV. Całki zależne od parametru

Ponieważ /„(<?) = 0, więc

X

/« + iU)= J/,(/,)*,.

£

Podstawiając tu zamiast /, odpowiednią całkę iterowaną otrzymujemy analogiczną całkę dla Zupełnie tak samo można otrzymać ogólniejszy wynik

X    fu-l    ¹    x

f <p'(t.->) dt*-t J rf/.-i ... J fU) dt = J 19 (x)~<pU)T~'fU)dt,

O    a    4    £

gdzie/i są funkcjami ciągłymi w przedziale <a, ó>, przy czym <p ma również ciągłą pochodną.

14) Znaleźć pochodną względem parametru <v całki

/ (*) = f -^4śŁ=~,

o

w której g> (a) jest funkcją ciągłą wraz ze swoją pochodną <p’(x) w przedziale <0, a> i 0<«<a. Nie możemy stosować bezpośrednio wzoru (16). ponieważ wyrażenie podcałkowe przy x — « jest ogólnie biorąc równe nieskończoności. Pójdziemy inną drogą, mianowicie przez podstawienie jt — */ nadamy całce postać

{

Teraz możemy stosować twierdzenie 3*. Różniczkując całkę według reguły Leibniza otrzymujemy

/'(«)--!_ f    f-^-dr

i wracając do starej zmiennej

dx.

/'(#) = -L C-lM-dx+±f^L

2# J /a—x    * * /tx—x

Obliczając pierwszą z tych całek metodą całkowania przez części doprowadzimy ten wzór do prostszej postaci

/'(<*) = -2^- + f-T^)_dx o

15) Niech

/(*,y) — arctg-^---. gdy 0<.v<l,    0<y<l,

Jr jr-l-y

/(O. y) = y w.

I

Sprawdzić bezpośrednio, że do całki J/(jr, y)z/.v przy y = 0 nie można stosować reguły Leibniza.

o

To samo dla funkcji

f(x, y) = x-e~*^i,f, gdy 0 < x < 1, 0 < y < 1 , f(x, 0) = 0.