0596

598

XIV. Całki zależne od parametru

Twierdzenie powyższe pozostaje oczywiście prawdziwe, gdy wszystkie wyrazy szeregu są ujemne. Przypadek ten sprowadza się do poprzedniego po prostu przez zmianę znaku.

519. Przykłady

1) Za pomocą rozwinięcia w szereg obliczyć całki

(a) f    dx, (b) f dx.

J x    J 1—x

o    o

Rozwiązanie, (a) Rozwijamy funkcję podcałkową w szereg

Ind—jt) _ j__x_    x²    a-³

x    2    3    4    "

którego wszystkie wyrazy mają znak minus. Zbieżność przestaje być jednostajna w otoczeniu punktu x = 1. Punkt ten jest dla sumy szeregu punktem osobliwym, mimo to w przedziale <0,1 > suma jest całkowalna. Powołując się na ostatnie twierdzenie poprzedniego ustępu całkujemy wyraz za wyrazem

O    Urn-t    3    Itml

[patrz 440, (4)].

(b) Druga całka przez podstawienie x =* I —z sprowadza się do pierwszej. Mimo to obliczymy ją dla wprawy niezależnie, rozwijając w szereg funkcję 1/(1—x):

-!!!*-=* V y |_n *.

1 —jc    ^

n-0

Wszystkie wyrazy tego szeregu są znowu ujemne. Zbieżność przestaje być jednostajną w pobliżu dwóch punktów: x = 0 i .v = I. Wobec tego stosujemy dwukrotnie ostatnie twierdzenie — oddzielnie do przedziałów <0, -j-> i <i-, 1>. Ostatecznie

2) (a) Obliczyć sumę szeregu

i—A + A + J-- ....

3    5    7    9 II

o-— H--

korzystając z tego, że

—(n= 0,1,2,...).

2»+l J

Rozwiązanie. Mamy

CO    1    1    00    1

a— ^ (-1)" J (x*"+x‘^t’⁺²) dx - j (—1)-jc⁴"(1 +.r²) dx = J    dx >

0    0    0    0    o

Chociaż suma szeregu nie ma osobliwości, jednak zbieżność przestaje być jednostajna w pobliżu punktu jc = I.

Ponieważ dla sum częściowych szeregu zachodzą nierówności

0 < g (-l)V'(l-U^ł) = l±gl(l+.v²) < 2-j±£ < 4 ,