0590

592

XIV. Całki zależne od parametru

3) Dowieść bezpośrednio, że całka

f Are-"^dx

J v3

dla wartości n *= 1,2,'3,... nie jest zbieżna jednostajnie względem a.

Wynika to stąd, że dla każdego A = const

CO

J -iL e~^R(Zxldx * _e~^n,2x21—_e-*/2A²    ^ gdy    // —► co .

A

co

4) Dowieść bezpośrednio, że całka J -dx jest zbieżna jednostajnie względem a w obszarze

o ^x

«>«o>0 i niejednostajnie w obszarze «>0.

Weźmy dowolną liczbę e>0. Jeżeli A₀ jest tak duże, że dla A>A₀

sin z

dz < e,

to całka (7)

/

sin ax

dx*

J

ma dla wszystkich o>a₀>0 wartość bezwzględną mniejszą od e, jeżeli tylko A> ——. To dowodzi pierw-

a

szej części twierdzenia.

Druga część wynika z tego, że gdy a -*■ 0, wówczas granicą całki (7) przy dowolnym A = const jest

5) Udowodnić, że całka

f sin ax    ,

I ■ cos x dx

J    v

jest zbieżna jednostajnie względem a w dowolnym przedziale zamkniętym nie zawierającym ± 1. Wskazówka. Przekształcić całkę do postaci

dx.

1 j sin (g+1) x+sin (a— 1) x

6) Zbadać jednostajność względem / zbieżności całki

00

j x sin x³ sin tx dx. o

co

Wskazówka. Całkując dwukrotnie przez części sprowadzamy całkę J' do postaci

cos x³ sin tx , t sin jr cos tx

3.e

+r

3jc³

-t/

cos x^a sin tx

A 3

A

05

t i" sin z³ cos tx

dx-\-

A

00

3 J x⁴ ' 9

A    A

Stąd już widać, że badana całka jest zbieżna jednostajnie w dowolnym przedziale skończonym.

+ T J

_dx+lL f sin x³ sin tx _(U 9 J x³