0564

566

XIV. Całki zależne od parametru

równość (4). Ustalmy wartości y i y' spełniające warunki (5), a x niech dąży do x₀. Przechodząc w (4) do granicy otrzymujemy

(8)    ly(y)-vWI<«-

Tym samym dla funkcji y< (y) przy J -* )’o spełniony jest klasyczny warunek zbieżności Bolzano-Cauchy’ego [58]. Stąd wynika już istnienie skończonej granicy

lim y> (y) = A .

y-yo

Widać teraz, że jeżeli tylko |y—y₀l < ń, to dla dowolnego xeX

I? (*)-/(*> y)| < e oraz |y>(y)-A\ < c ;

można to łatwo sprawdzić przechodząc w nierównościach (4) i (8) do granicy przy ustalonych x i y i y’-+ y₀.

Zachowując wybraną wartość y znajdujemy takie 3' > 0, że dla |jc—jc₀| < 3'. Z wszystkich tych nierówności wynika, że dla tych samych wartości x spełniona jest też nierówność

l9r(x)-i4| < 3e ,

a więc

lim <p (x) = A .

Twierdzenie jest udowodnione.

Uwaga. Można wykazać, że liczba A występująca w dowodzie jest jednocześnie podwójną granicą funkcji f(x, y) przy jednoczesnym przejściu granicznym x -* x₀ i y -* y₀. Uwaga ta zbliża powyższe twierdzenie do twierdzenia z ustępu 168.

506. Przejście do granicy pod znakiem całki. Wrócimy teraz do badania całki (1) zależnej od parametru >’ ograniczając się przy tym początkowo do przedziału skończonego <n, by i funkcji całkowalnej w zwykłym sensie. Przy założeniu, że obszar 9/ zmienności parametru ma punkt skupienia y₀, zajmiemy się najpierw zagadnieniem istnienia granicy funkcji (1) dla y -* y₀.

Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja f (x, y) przy ustalonym y jest całkowalna względem x w przedziale <a, b) i dla y -+ y₀ dąży do funkcji granicznej (2) jednostajnie względem x, to zachodzi równość

b    b

(9)    lim I (y) = lim f /(x, y) dx = f <p(x) dx.

j>-yo    y-y« „    j

Dowód ('). Wiemy już z ustępu 504, 3°, że funkcja graniczna <p (x) jest całkowalna. Biorąc dowolną liczbę e > 0 znajdujemy taką liczbę 3 > 0, żeby spełniona była zależność (3).

(') Dla ustalenia uwagi przyjmujemy, że y₀ jest skończone.