0598

600

XIV. Całki zależne od parametru

Wobec tego całka z tej sumy jest zbieżna jednostajnie w punktach x — 0 i x = 1. Całkując wyraz za wyrazem otrzymujemy na podstawie twierdzenia 1

V (-1>^V

co I

h =-^ J (-l)V^+v-‘rfr

v«0 0    V«0

Całkę I₂ za pomocą podstawienia a* — 1/z sprowadzamy do postaci

d.\.

/*-«    f _vU-<»ł—l

——dx = f -

1+.Y J 1+.Y

O    O

Stosując to samo rozwinięcie w szeregu znajdujemy

cc

_f2-Yi=iL.

a—y

Wobec tego

+ V (-i)"/—!— + -J—•).

a    \ a-f v    a—u /

W szeregu tym rozpoznajemy rozkład na ułamki proste funkcji t-[441, 9)]. Ostatecznie

sin TW

ou

dx ■■

r

J 1+.y o

(b) Rozbijając znowu całkę na dwie i stosując w drugiej to samo podstawienie otrzymujemy

K = f    dx- f    dx = K_t-K₂ 0).

J    1 — X    J 1—.Y

O    O

Wystarczy oczywiście obliczyć K_l. Stosując rozwinięcie funkcji podcałkowej na szereg znajdujemy jak poprzednio

a 4_i \ a+_v a—r t

V-1

Ten szereg jest znowu rozkładem na ułamki proste funkcji n ctg i:a [441, 9)]. Zatem

00

/_ro — 1__Yb—1

-dx = -x (ctg na—ctg nb).

l—x

o

5) Znaleźć wartości całek (|/-| < 1)

00 00 /.X r f    1— r cos fix    j„ ,lw _ f Ind— 2rcosfrx-+r²) j_

⁽³⁾ h=J (!+>) (i-2rc^i+r*)'** ^(b) h ~ J -T+P-

(’) Dla obu całek punktem osobliwym jest x — 0; w punkcie x —- 1 nie ma osobliwości; całki są zbieżne.