0662

664

XIV. Całki zależne od parametru

Przypadkiem szczególnym wzoru Gaussa jest wyprowadzony wcześniej i niezależnie od niego wzór Legendre’a (20). Istotnie, jeśli w (26) weźmiemy n = 2, to otrzymamy wzór

r(_fl)r («+-!-) = j/*L-r(ia),

2^a 2

równoważny ze wzorem (20).

537. Niektóre rozwinięcia w szeregi i iloczyny. 11° Podstawą ich będzie wzór (25). Rozwińmy wyrażenie podcałkowe w szereg:

d-^-) j>.

^{x 1}    v»0    *-0

Wszystkie wyrazy tego szeregu mają ten sam znak. Całkowanie wyraz za wyrazem daje

to

(27)    Dhrw+c-Ś^-^).

Szereg ten jest zbieżny jednostajnie dla 0 < a < a_Q, majoryzuje go bowiem szereg

00

1

Jeśli zróżniczkujemy ten szereg wyraz za wyrazem względem a, to otrzymamy interesujące z powodu swej prostoty rozwinięcie

00

(28)    '"'■fO-SlSy

v*0

Mieliśmy tu prawo różniczkować wyraz za wyrazem, bo szereg był zbieżny jednostajnie

<n |

dla a > 0 (majorantą jest szereg £ -j-).

»-i ™

12° Całkując wyraz za wyrazem szereg (27) w granicach od 1 do a (a > 0) otrzymujemy

(29)    larW+CO,-))-

»-0 ' '

Całkowanie takie jest dozwolone wobec jednostajnej zbieżności szeregu. Zastępując teraz a przez a+1 (dla a > — 1) przepiszemy to rozwinięcie w postaci

tor(«+i)₊c».£(|-to^±i.)

fl-1 ^X    J

lub