0624

626

XIV. Całki zależne od parametru

Dalsze różniczkowanie względem P pod znakiem całki jest niedopuszczalne, bo w wyniku takiego różniczkowania powstałaby całka rozbieżna. Jednak jeżeli do powyższej równości dodamy stronami równość [S22, 2°] (*), to otrzymamy z prawej strony całkę

ŚŁ + 2L = _a2 f sin fix .

dp ⁺ 2 J x(a²+x²) ^a '

którą można już różniczkować pod znakiem całki. Różniczkując dostajemy

d²y

dp²

COS Px <x²+x²

dx,

a więc

d²y ₂

—— = ary .

dP²

To proste równanie rzędu drugiego o stałych współczynnikach ma równanie charakterystyczne o pierwiastkach ±*. Zatem

y = C.e^ + Cje-^,

Ci i Ca są stałymi. Ponieważ dla wszystkich wartości p całka y jest ograniczona:

00

0

więc stała musi być równa zeru (bo w przeciwnym przypadku przy p -* + oo całka y rosłaby nis-ograniczenie).

Dla wyznaczenia C₂ przyjmijmy P = 0. Oczywiście

C₂

y =

7C

Za '

Ostatecznie

Za

Stąd przez różniczkowanie znajdujemy z. 10) Obliczyć całki

co    oo

o    o

O Wartość tej całki nie jest zresztą potrzebna dla dalszych rachunków; wystarczy wiedzieć, że dla wszystkich p>0 zachowuje ona stałą wartość. O tym zaś łatwo się przekonać za pomocą podstawienia t -Px.