0247

248

IV. Badanie funkcji za pomocą pochodnych

Wiemy już, że w punkcie x=0 funkcja ta ma pochodną/'(O)=0 {102, 2°]. Jednak dowolnie blisko punktu stacjonarnego x=0, tak z lewej jak i z prawej strony, pochodna

f'(x)=2x sin

x

1

—cos —

X

zmienia znak nieskończenie wiele razy. W tym wypadku w punkcie x=0 nie ma ekstremum. Jeśli natomiast określimy funkcję wzorami

to będzie ona miała taką samą osobliwość jak poprzednia, ale tym razem w punkcie x=0 będzie oczywiście minimum. W obu tych przypadkach reguły naszej nie można stosować.

137. Reguła druga. Przy szukaniu ekstremum badanie znaku pochodnej w pobliżu danego punktu można zastąpić przez badanie znaku drugiej pochodnej w samym tym punkcie; wykażemy to.

Niech więc funkcja/(x) nie tylko ma w otoczeniu punktu x₀ pochodną/'(x), ale i drugą pochodną f"(x₀) w samym punkcie x₀. Niech x₀ będzie punktem stacjonarnym, tzn. niech /'(x₀)=0. Jeśli /"(x_o)>0, to zgodnie z lematem z ustępu 109 funkcja f'(x) w punkcie x=x₀ rośnie, tzn. w pobliżu punktu x₀ na lewo od niego f(x)<f(x₀)=0, na prawo zaś f(x)>f'(x_o)=0. Tak więc pochodna f(x) zmienia znak z minusa na plus, a zatem f(x) ma w punkcie x—x₀ minimum. Jeśli /"(x_o)<0, to f\x) w punkcie jc=jc₀-maleje zmieniając znak z plusa na minus, mamy więc wtedy maksimum.

Tak więc możemy sformułować drugą regułę badania „podejrzanej” wartości x₀: podstawiamy x₀ do drugiej pochodnej /"(*); jeśli f"(x_o)>0, to funkcja ma minimum, jeśli natomiast f"(x₀)< 0, to ma maksimum.

Reguła ta ma na ogół węższy krąg zastosowań; nie można jej na przykład stosować do badania punktów, w których nie istnieje pierwsza pochodna skończona, nie ma tam bowiem tym bardziej drugiej pochodnej. W tych wypadkach, gdy druga pochodna jest równa zeru, reguła ta też niczego nie daje. Rozwiązanie zagadnienia zależy wtedy od zachowania się pochodnych wyższych rzędów (patrz następny ustęp).

Jeśli zechcemy zastosować tę regułę do przykładu 2), to trzeba obliczyć drugą pochodną

/"(x)=6 sin x cos x (cos x+sinx)—3 (sin³ x+cos³x) .

Dla x=0 (2it), |tc pierwszy składnik równy jest zeru i znak pochodnej f"(x) jest przeciwny niż znak/(x) = sin³ x+cos³ x. Dla x=0 (2łt), \rt będziemy mieli minus (będą tu więc maksima). Dla x=n, będzie plus (w tych punktach mamy więc minima). Dla x=jtt, wskutek równości sin x=cos x, pochodna /"(x)=6 sin³ x, tak więc w pierwszym z tych punktów znak drugiej pochodnej będzie plus (minimum), w drugim zaś — minus (maksimum).

A oto nowy przykład: znaleźć ekstrema funkcji