0400

401

§ 2. Funkcje uwikłane

Wówczas

a)    w pewnym otoczeniu punktu (x°, x₂, ..., x„ , y₀) równanie (4) określa y jako jednoznaczną funkcję y =f{x_l , x₂,..., xj zmiennych x_t, x₂, ..., x_n;

b)    dla Xi=x°, ..., x„=x° funkcja ta przybiera wartość y₀; f(x°₁, x₂,..., x°_n)=y₀;

c)    funkcja /(x,, x₂,..., x„) jest ciągła względem układu swoich argumentów;

d)    ma ciągłe pochodne cząstkowe

Nie będziemy się zatrzymywali na dowodzie, ponieważ jest on zupełnie analogiczny do dowodu twierdzeń 1 i II.

W najogólniejszym przypadku może być dany układ m równań z n+m zmiennymi

	Fi(xi,x2.....x„,yl,y2, .	V: 3 T o
(5)	F2(xi,x2, ..., x„, yj, y2, .	y»)=o,
	Fm(x!,x2, ...,xn,yi,y2, .
Chodzi tu o określenie nych n zmiennych xl,	przez ten układ m zmiennych ylyy2, ... x2, ..., xn:		, ym jako funkcji uwikła-
yi = «»i(xi,X2> •••>■	xn), y2 = <p2(xi,x2, ...,x„),		ym=9m(xi,X2, ...,X„),
tak żeby przy podstawieniu ich do układu (5) otrzymać tożsamości
Fita , x2, .	..,x„, ęl{xl,x2, ..., x„), ...	. <Pm{x 1,X2,	..., xn))=0,
F2(xi, x2, .	■ ■,xn, ę’i(x1, x2, ...,x„), ....	. <Pm(x,,x2,	..., x„))=0,
Fm(x 1 , x2, .	..,x„, ęi(xI,x2, ...,x„), ...	. <Pmix 1 , x2 ,	...,xB))=0.

Mówimy, że w (n+m)-wymiarowym prostopadłościanie

(°i i ł>i 5 ••• ; ^an> b„; Cj, dj;...; c_m, d_m)

układ (5) określa y,, y₂, ..., y_m jako jednoznaczne funkcje zmiennych x_x, x₂, ..., x_n, jeżeli dla każdego punktu (x_x, x₂, ..., x„) ^-wymiarowego prostopadłościanu

(a^bi ; ... ; a„, b_n)

układ równań (5) ma jeden i tylko jeden układ rozwiązań y_t, y₂, ..., y_m należący do m-wymiarowego prostopadłościanu

(ej, dj , ... , c_m, d_m).

W zagadnieniu istnienia jednoznacznej funkcji uwikłanej określonej jednym równaniem (1) lub (4) rozstrzygającą rolę spełniał jak widzieliśmy warunek, żeby była różna od zera pochodna F'_y — pochodna względem tej właśnie zmiennej, która była funkcją uwikłaną. W zagadnieniu istnienia jednoznacznych funkcji uwikłanych y_1;y₂, • ■ ■,y_m określo-