0470

471

§ 2. Prosta styczna i płaszczyzna styczna

stając ze wzoru (8) otrzymujemy

podstyczna = TO = r tgco = —-,

r_H

podnormalna — ON = r ctg<o = r'_e,

skąd

t_p=TM =

n_p=MN = y/r² + r'₀².

233. Przykłady.

1)    Spirala Archimedesa r — aO (rys. 122 na str. 457).

Ponieważ rj = a, więc podnormalna = a = const. Pozwala to od razu znaleźć położenie punktu N i wraz z nim normalną i styczną do krzywej.

Zauważmy, że tga> = 0. Zatem, gdy 0->co, to również tgeo-+oo, a więc granicą kąta co jest kąt prosty.

a

2)    Spirala hiperboliczna r=— (rys. 123 na str. 457).

0

a

Teraz r'₆—--r ,

e²

podstyczna= —a=const. To oczywiście także ułatwia konstrukcję stycznej.

3) Spirala logarytmiczna r = ae^ma (rys. 134).

Mamy teraz r’_t=mae^m>, tak że tgm=—=const, i sam kąt &> = const. Spirala logarytmiczna

m

ma zatem tę godną uwagi własność, że kąt między promieniem wodzącym a styczną ma stałą wartość. Innymi słowami spirala logarytmiczna przecina wszystkie swoje promienie wodzące pod stałym kątem.

Dzięki tej własności przypomina ona okrąg, który także przecina wszystkie promienie wodzące wychodzące z jego środka pod stałym kątem, mianowicie pod kątem prostym. Okrąg można zresztą rozpatrywać jako szczególny przypadek spirali logarytmicznej odpowiadający wartości m=0.

4) Ślimaki r = a cos 8+b (rys. 135).

Zauważmy, że podnormalna = rś = —a sin 6 nie zależy od b. Tym samym, jeżeli weźmiemy punkty ślimaków odpowiadających różnym wartościom b leżące na jednej półprostej wychodzącej z bieguna,