060

60

\

3. Twierdzenia graniczne

Zadanie 3.2.15.

W grupie studenckiej przeprowadzono test z analizy, w którym można uzyskać od 0 do 100 punktów. Przeciętna ilość punktów uzyskiwanych przez studenta wynosi 40, a dyspersja 20. Zakładając, że wyniki studentów są niezależne i o tym samym rozkładzie prawdopodobieństwa, obliczyć:

a)    prawdopodobieństwo tego, że suma punktów uzyskana przez 150 osobową grupę studencką będzie większa od 6500,

b)    prawdopodobieństwo tego, że przeciętna liczba punktów przypadająca na jednego studenta w 150 osobowej grupie zawierać się będzie w przedziale od 40 do 70 punktów.

Zadanie 3.2.16.

Komputer dodaje 1500 liczb rzeczywistych, z których każdą zaokrągla do najbliższej całkowitej, a liczbę n + 0.5 do najbliższej parzystej (n jest liczbą całkowitą). Zakładając, że błędy zaokrągleń są niezależne o rozkładzie jednostajnym na odcinku (-0.5,0.5), obliczyć prawdopodobieństwo tego, że błąd w obliczeniu sumy przekroczy 15.

Zadanie 3.2.17.

Czas oczekiwania na autobus linii A jest zmienną losową o rozkładzie wykładniczym z wartością oczekiwaną równą 10 minut. Pani X codziennie dojeżdża do pracy autobusem A. Obliczyć prawdopodobieństwo, że pani X:

a)    traci kwartalnie na czekanie na autobus A więcej niż 910 minut (przyjmujemy, że kwartał ma 90 dni),

b)    średnio dziennie w kwartale traci więcej niż 9 minut na czekanie na autobus A. Zadanie 3.2.18.

Zmienne losowe X_i są niezależne i mają ten sam rozkład o gęstości

dla |jc| < 1, poza tym.

100

Dla Z = oszacować Pr

n= 1

Zadanie 3.2.19.

Czas pracy każdego urządzenia ma rozkład wykładniczy o średniej równej 0.5. Po awarii urządzenie jest natychmiast wymieniane na nowe. Oszacować prawdopodobieństwo, że po 80 wymianach łączny czas pracy będzie większy od 50.

Zadanie 3.2.20.

Prawdopodobieństwo trafienia do celu przy jednym wystrzale wynosi 0.7. Ile razy należy strzelić, aby z prawdopodobieństwem większym niż 0.96 można było orzec, że odchylenie częstości trafienia do celu od prawdopodobieństwa tego zdarzenia będzie mniejsze niż 0.01? Zastosować twierdzenie Moivre’a-Laplace’a.