22 (3)

Biblioteczka Opracowań Matematycznych

135/

^ cin*

dx

sin‘xcosx

sm x = t -= cosx =

dx =

dl

-J7Z7 = f - f ^dt f -<* p* 1 r<*    1

_dt *0-77^7 V(l-r) /ⁱ(^,_*X^{, +} 0    2^1+1 2 J/-1

1 1

= -- + —ln|/ + l|- —ln|/-l|+C = —7-—+ —In

sin x +1

/ 2 136/

sin x 2

rcos^3 xdx	rCOS^2 X COSX , , .
—-=	-r--dx = sin x = i
^Jsin*x+1	^J sin x + l

sin x-l

+ C

= - jdt + 2    ⁺ 2arctgt +C = -sin x + 2c»r/g(sin x)+C

137/

i-tgxdx J    _ sin ,v _ r sin

*lgx + 2 I cosx /sinx+

sin xdx

tgx = t

dx-

'sinx + 2cosx

sin x =

dt

■f\

+r

cos.t =

dt

1+/² 1

+r

■Jl+t¹ -Jl+t²

^J(/+2)(l+r)    5 J/-+-2 5-¹ ^+1    5

2

= - ~ I n |/gx + 2\ + -1 n |(g ■²x +11 + - arctg {tgx )+ C

138/

h

dx

dx

sin² x cos³ x

rsin x + cos‘x , r ax r

= J—1-r~dx= I —+ I

^J Sin XCOS X    V j

dx

cos x •'sm‘xcosx

■=/.+/*

sin²x + cos²x

cos x

u = sin x du = cos xdx sin xdx

, sin xdx r

dv =-— V= J

cos X

1

sin² xdx

cos x

r dx r . sinx . r -= smx—y-ax +

^J COS X ^J    rnc * ^Y    ■

sm*

cos⁵x

dx

' COS X

Pomocniczo wyznaczamy: jsin xdx

-•(H.

cos³ X

= COS X

, sinx 1.

/, =-z h ln

2cos²x 2

= / -sin xdx -dt\ = - f^- = —!^ + C =-U^- + C

¹ J t 2t    2cos² x

irih

, r dx    fsin²x+cos²x , r dx rcosicdr (x xj|

² ■*sln²xcosx ^ sin²xcosx 'cosx •* sin²x " H 4 2J

Jr^{x = t} = lnLgf—+—)| + f^- = lnlgf—+ —1--!— + C

|cos xdx = dl |v4 2Ą ' l‘ i. 4 2Ą sinx

¹ :+x4s(f+§i+c

/ =

Ostatecznie otrzymujemy: sinx

2cos²x sinx 2

139/

Jsiri*xcoixdx= jsin⁴xco^xcosxdx= Jsiri* x(l —sirr xf co»-cix-|sinv=/ coscdx=d\ =

r 4/, ? \ j r / 4 __{ć 8}\, t 2t t _ sm x z sin x sin'x

= /^J(l-rtó = (r-2r+rt#=---+—+C=---+-+r

^JV^^JV    r 5    1    9    5    7    9

sin⁵x 2sin⁷x sin⁹x

140/

<Jtgxdx_ r -ftgxdx _ 1 c -ftg)dx cosx_ 1 f i—cosx dx

sin2x ^J2sinxcosx 2^Jsinxcosxcosx 2 2

1    ¹    i

= -Jt²r'dt=t²+C = J&+C

ir;—cc

sinx co i x

= tgx=t dt=

dx

co

7.Całki funkcji wykładniczych i logarytmicznych

Całki postaci JR^_e^x^i_x wyznacza się przez podstawienie _e^x - _t.

PRZYKŁADY CAŁKOWANIA

141C

jię*‘+ -Je*^ix = e^x = t e'dx = dt dx = — = J t* +I¹ j— = y-2f ^; +C =    -2e'² +C

42/

rc¹ +1 , I _r , c* r/ +1 dt c 1 +1    .

V-1 I    / ^J / -1 / ^Jf(f-l)

-43-