30

Zadanie 9

Udowodnij, że jeśli

a)    s_n =    as_n_!    dla n > 1    i a ^ 6, to s_n = aⁿ ■ sq dla n    6    N.

b)    s_n =    6s_n_2    dla n > 2,    to s_2n = bⁿ ■ so oraz S2n+i    =    bⁿ    ■ Si dla n E N.

Zadanie 10

Podaj wzór jawny na s_n:

a)    Sq =    Si = 3    oraz s_n =    s_n_i 4- 2s_n_2 dla n > 2.

b)    s_Q =    si = 1    oraz s_n =    s_n_i + s_n_o ci/a n > 2.

5o = 1 Si = —3 oraz s_n = 6s_n_i — 9s_n_2 dla n > 2. dj s₀ = 2 Si = —1 oraz s_n = —s_n-i + 6s_n_2 dla n >2. e) s₀ = 1 si=8 oraz s_n = 4s_n_i — 4s_n_2 dla n> 2.

Zadanie 11

Podaj wzór jawny na S2^:

a)    s₂n = 2s_n + 3, Si = 1.

b)    s_2n = 2s_n + 5n, si = 0.

S2n — 2s_n T, Sl — 1. d) S2n — 2s_n 71^ Si — 3.

Algorytm Euklidesa

Zadanie 12

Skorzystaj z jakiejkolwiek metody, aby znaleźć NWD(m,n) dla par:

a)    m = 20, n = 20;

b)    m = 20, n = 1;

c)    m — 20, n ⁼ 7;

d)    m — 120, n = 162.

Zadanie 13

Wypisz pary liczb (a,b) otrzymane w trakcie działania algorytmu NWD dla następujących liczb min oraz znajdź NWD(m,n): a) m = 20, n = 14;    c) m = 20, n = 7;

i?) m = 20, n = 30;    d) m = 2000, n = 987.

Zadanie 14

Skorzystaj z algorytmu Euklidesa, aby znaleźć NWD(m,n) oraz liczby sit takie, że NWD(m, n) = s • m +1 • n &7a podanych liczb m i n.

a)    m = 20, n = 14;

b)    m = 20, n = 30.

Zadanie 15

Z>Za każdej wartości m rozwiąż kongruencję m • x = 1 (mod26), gdzie 0 < x <26 lub wyjaśnij, dlaczego nie istnieje rozwiązanie:

a)    m = 5,

b)    m = 4,

c)    m = 17.