CCF20091202022

Ale X jest stałą, więc:

N

I

/= i

£

i=\

N

skąd widzimy już, że rozważane wyrażenie jest zerem.

Własność ta może uprościć obliczanie średniej. Przypuśćmy, że obliczamy średnią liczb 72, 81, 86, 69 i 57. Dodając te liczby i dzieląc sumę przez 5 otrzymujemy X = 73,0. Odejmując tę wielkość od każdego pomiaru i dodając różnice sprawdzamy prawidłowość obliczeń — powinniśmy otrzymać zero:

X	żf-73	żr-70
72	-1	2
81	8	11
86	13	16
69	-4	-1
57	-16	-13

0    15

Przypuśćmy teraz, że bez obliczania zgadujemy, iż wartość średniej wynosi 70, a następnie odejmujemy tę wielkość od każdego pomiaru. Sumą tych różnic nie jest oczywiście zero, a poza tym okazuje się, że każda różnica jest o +3 większa od różnicy między pomiarem a rzeczywistą średnią. Odgadliśmy bowiem średnią o +3 za małą. Dodając tę liczbę do średniej odgadniętej otrzymamy więc prawidłowy wynik. W praktyce nie dokonujemy takich porównań. Zauważmy jednak, że suma różnic między pomiarami a średnią odgadniętą wynosi 15. Ponieważ pomiarów jest 5, więc średnia odgadnięta jest mniejsza od prawdziwej o 15/5 = 3. Łatwo można sprawdzić, że gdyby średnia odgadnięta była większa od rzeczywistej, suma różnic byłaby ujemna i przeciętną różnicę należałoby odjąć od średniej odgadniętej, by otrzymać prawidłowy wynik. Jeśli oznaczymy średnią odgadniętą przez X', to wzór na obliczenie średniej ma postać:

£ (*«-*')

X= X'+ _w-    (5.2)

/

lub słownie:

średnia    średnia    suma odchyleń od średniej odgadniętej

rzeczywista ^— odgadnięta ⁺    liczba pomiarów

Dla dowodu poprawności tego wzoru rozpisujemy prawą stronę i otrzymujemy:

A"+

Y (Xi-x^r) i=i _ y'_l	N E Xi i-1	i
N ^X +	N	N
— Y'4-	N Y xt i	NX'
— A -t	N	N

Wydaje się, że metoda ta jest dosyć kłopotliwa, w rzeczywistości jednak może ona bardzo przyspieszyć obliczanie średniej, jeśli nie dysponujemy kalkulatorem. Dzięki niej zmniejszamy bowiem znacznie wielkość liczb,, którymi operujemy. Im bliższa średniej rzeczywistej jest średnia odgadnięta,, tym mniejsze są te liczby. Metoda odgadywania średniej jest szczególnie użyteczna, gdy operujemy danymi pogrupowanymi.

Średnia ma poza tym inną jeszcze własność: suma kwadratów odchyleń pomiarów od średniej jest mniejsza od sumy kwadratów odchyleń tych pomiarów od jakiejkolwiek innej liczby. Czyli:

N    _

Y (X — X)² — minimum

;-i

Udowodnienie tej własności wymaga znajomości analizy matematycznej* podajemy tu jednak kilka przykładów liczbowych. Dla pięciu przytoczonych wyżej liczb kwadraty odchyleń od średniej (73) wynoszą odpowiednio 1* 64, 169, 16 i 256. Ich suma wynosi więc 506. Gdybyśmy natomiast obliczali odchylenia pomiarów od wartości 70, otrzymalibyśmy:

4+121+256+1+169=-- 551

N

Wielkość Y (X— X)² będziemy omawiali dużo później jako miarę całko-

/-i

61