Image0009 (3)

J.Stadnicki Optymalizacja- wykład dla Mechaniki, część4: PROGRAMOWANIE NIELINIOWE - metody numeryczne 17

3° znajdź współrzędną punktu przecięcia odcinka AB z osią X:

Q^,k)-Q^,i^xi)

tga

„k    k

X —X 2    1

k    k

x =x₀

m    2

tga Q'(x*)-Q'(x*)

(4-15)

oblicz Q^f [x^km j i sprawdź, czy |q^; [x^km < 8, jeśli tak to zakończ algorytm,

jeżeli Q' (x^km ) Q' [x₂ ) < 0 to podstaw: x\¹¹ = X^km, Q' ) = Q' ) (rys.a).

W przeciwnym przypadku podstaw: X^k+l = x'_m, Q^r [x^k 11) =    ), (rys.b),

6° przyjmij k = k-\-\ i powróć do punktu 2°.

ALGORYTM INTERPOLACJI SZEŚCIENNEJ DAV!DONA

Funkcję Q{x) przybliżamy przedziałami wielomianem trzeciego stopnia (krzywą sześcienną):

F(x) = a-\-bx-\-cx² -ł-dx^J. Mamy zatem cztery warunki brzegowe (po dwa w każdym węźle interpolacji), które pozwolą zachować ciągłość interpolowanej funkcji oraz jej pochodnej.

Oznaczając: Q(x^ = Q_ą, Q (x.₂ ) = Q_a, Q' (x,) = Q'_A, Q' (x.₂) = Q'₀, otrzymamy:

JStodntcki Optymalizacja- wykład dla Mechaniki, część4: PROGRAMOWANIE NIELINIOWE - metody numeryczne

18

a +bx_} -\-cx² +dx* = Q_Ą a+bx₂ +cx² +dx₂ = Q_B b+2 cx_{ + 3dx² = Q'_ą b -|- 2 cx₂ + 3 dx\ = Q'_b

a, 6, c, d

(4.16)

Jeśli punkty x_} i x,_} rozmieścimy tak, że x_} =0, x₂ = t, to rozwiązując układ (4.16) wyznaczymy krzywą interpolującą F {t) — a-\-bt-\-ct² + dt \ która ma minimum wtedy, gdy

F'{t) = {) i F^r,{t)>0.

ALGORYTMY DRUGIEGO RZĘDU

Wykorzystują znajomość funkcji, jej pierwszej-pochodnej i drugiej pochodnej. Praktyka wykazuje, że można w ten sposób przyspieszyć algorytm. Warto dodać, że w praktyce analityczne obliczenie drugiej pochodnej może być utrudnione.